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12-3-2平面与平面垂直的判定一、选择题1．下列命题中：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系，其中正确的是()A．①③B．②④C．③④D．①②2．以下三个命题中，正确的命题有()①一个二面角的平面角只有一个；②二面角的棱垂直于这个二面角的平面角所在的平面；③分别在二面角的两个半平面内，且垂直于棱的两直线所成的角等于二面角的大小A．0个B．1个C．2个D．3个3．已知直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面()A．有一个B．有两个C．有无数个D．不存在4．已知l⊂β，m⊥α，有下列四个命题：①α∥β⇒l⊥m;②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.其中正确的命题是()A．②与④B．③与④C．①与②D．①③5．正方体ABCD－A1B1C1D1的六个面中，与平面BC1垂直的面的个数是()A．1B．2C．3D．46．自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线的夹角与二面角的平面角的关系是()A．相等B．互补C．互余D．无法确定27．已知α，β是平面，m、n是直线，给出下列表述：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交；④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β.其中表述正确的个数是()A．1B．2C．3D．48．正方体A1B1C1D1－ABCD中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值等于()A.33B.22C.2D.39．在二面角α－l－β中，A∈α，AB⊥平面β于B，BC⊥平面α于C，若AB＝6，BC＝3，则二面角α－l－β的平面角的大小为()A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°10．ABCD是正方形，以BD为棱把它折成直二面角A－BD－C，E为CD的中点，则∠AED的大小为()A．45°B．30°C．60°D．90°3二、填空题11．下列四个命题中，正确的命题为________(填序号)．①α∥β，β⊥γ，则α⊥γ②α∥β，β∥γ，则α∥γ③α⊥β，γ⊥β，则α⊥γ④α⊥β，γ⊥β，则α∥γ12．在三棱锥P－ABC中，已知PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，如右图所示，则在三棱锥P－ABC的四个面中，互相垂直的面有________对．13．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，BC＝2，AA1＝1，E，F分别在AD和BC上，且EF∥AB，若二面角C1－EF－C等于45°，则BF＝________.14．如图，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝a.(1)二面角A－PD－C的度数为________；4(2)二面角B－PA－D的度数为________；(3)二面角B－PA－C的度数为________；(4)二面角B－PC－D的度数为________．三、解答题15．(2012·江西卷)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB＝12，AD＝5，BC＝42，DE＝4.现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合与点G，得到多面体CDEFG.(1)求证：平面DEG⊥平面CFG；(2)求多面体CDEFG的体积．16．在如下图所示的四面体ABCD中，AB，BC，CD两两互相垂直，且BC＝CD.(1)求证：平面ACD⊥平面ABC；(2)求二面角C－AB－D的大小．[分析](1)转化为证明CD⊥平面ABC；(2)∠CBD是二面角C－AB－D的平面角．17．已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA＝AD，M、N分别5是AB、PC的中点，求证：①MN∥平面PAD；②平面PMC⊥平面PDC.18．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝3.(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；(2)求二面角A－BE－P的大小．详解答案1[答案]B[解析]对①，显然混淆了平面与半平面的概念，是错误的；对②，由于a，b分别垂直于两个面，所以也垂直于二面角的棱，但由于异面直线所成的角为锐角(或直角)，所以应是相等或互补，是正确的；对③，因为不垂直于棱，所以是错误的；④是正确的，故选B.[点评]根据二面角的相关概念进行分析判定．2[答案]B[解析]仅②正确．3[答案]C6[解析]经过l的任一平面都和α垂直．4[答案]D[解析]m⊥αα∥β⇒m⊥βl⊂β⇒m⊥l，∴①正确否定A、B，又m⊥αl∥m⇒l⊥αl⊂β⇒β⊥α，∴③正确否定C，故选D.5[答案]D[解析]与平面BC1垂直的面有：平面AC1，平面AC1，平面AB1，平面CD1.6[答案]B[解析]如图，BD、CD为AB、AC所在平面与α、β的交线，则∠BDC为二面角α－l－β的平面角．且∠ABD＝∠ACD＝90°，∴∠A＋∠BDC＝180°.7[答案]B[解析]①是平面与平面垂直的判定定理，所以①正确；②中，m，n不一定是相交直线，不符合两个平面平行的判定定理，所以②不正确；③中，还可能n∥α，所以③不正确；④中，由于n∥m，n⊄α，m⊂α，则n∥α，同理n∥β，所以④正确．8[答案]C[解析]设AC、BD交于O，连A1O，∵BD⊥AC，BD⊥AA1，∴BD⊥平面AA1O，∴BD⊥AO，∴∠A1OA为二面角的平面角．tan∠A1OA＝A1AAO＝2，∴选C.9[答案]D[解析]如图，∵AB⊥β，∴AB⊥l，∵BC⊥α，∴BC⊥l，∴l⊥平面ABC，7设平面ABC∩l＝D，则∠ADB为二面角α－l－β的平面角或补角，∵AB＝6，BC＝3，∴∠BAC＝30°，∴∠ADB＝60°，∴二面角大小为60°或120°.10[答案]D[解析]设BD中点为F，则AF⊥BD，CF⊥BD∴∠AFC＝90°，∴AF⊥面BCD∵E、F分别为CD、BD的中点，∴EF∥BC，∵BC⊥CD，∴CD⊥EF，又AF⊥CD，∴CD⊥平面AEF，∴CD⊥AE.故选D.11[答案]①②812[答案]3[解析]∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，∴PA⊥平面PBC，∵PA⊂平面PAB，PA⊂平面PAC，∴平面PAB⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBC.同理可证：平面PAB⊥平面PAC.13[答案]1[解析]∵AB⊥平面BC1，C1F⊂平面BC1，CF⊂平面BC1，∴AB⊥C1F，AB⊥CF，又EF∥AB，∴C1F⊥EF，CF⊥EF，∴∠C1FC是二面角C1－EF－C的平面角，∴∠C1FC＝45°，∴△FCC1是等腰直角三角形，∴CF＝CC1＝AA1＝1.又BC＝2，∴BF＝BC－CF＝2－1＝1.14[答案]90°；90°；45°；120°[解析](1)PA⊥平面ABCD∴PA⊥CD又ABCD为正方形，∴CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，又CD⊂平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD，∴二面角A－PD－C为90°.(2)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AD⊥PA∴∠BAD为二面角B－AP－D的平面角又∠BAD＝90°，∴二面角B－AP－D为90°(3)PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA∴∠BAC为二面角B－PA－C的平面角又ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°即二面角B－PA－C为45°(4)作BE⊥PC于E，连DE9则由△PBC≌△PDC知∠BPE＝∠DPE从而△PBE≌△PDE∴∠DEP＝∠BEP＝90°，且BE＝DE∴∠BED为二面角B－PC－D的平面角∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，∴BE＝PB·BCPC＝63a，BD＝2a∴取BD中点O，则sin∠BEO＝BOBE＝32，∴∠BEO＝60°，∴∠BED＝120°∴二面角B－PC－D的度数为120°.15[解析](1)由已知可得AE＝3，BF＝4，则折叠完后EG＝3，GF＝4，又因为EF＝5，所以可得EG⊥GF，又因为CF⊥底面EGF，可得CF⊥EG，即EG⊥面CFG所以平面DEG⊥平面CFG.(2)过G作GO垂直于EF，GO即为四棱锥G－EFCD的高，所以所求体积为13S正方体DECF·GO＝13×5×5×125＝20.16[解析](1)证明：∵CD⊥AB，CD⊥BC，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.又∵CD⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC.(2)∵AB⊥BC，AB⊥CD，且BC∩CD＝C，∴AB⊥平面BCD.∴AB⊥BD.∴∠CBD是二面角C－AB－D的平面角．∵在Rt△BCD中，BC＝CD，∴∠CBD＝45°.∴二面角C－AB－D的大小为45°.17[解析](1)取PD的中点Q，连接AQ、QN∵PN＝NC，∴QN綊12DC∵四边形ABCD为矩形，∴QN綊AM∴MN∥AQ，又∵AQ⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，∴MN∥平面PAD(2)∵PA⊥平面ABCD，∴∠PAD＝90°∴△PAD为等腰直角三角形∵Q为PD中点，∴AQ⊥PD∵CD⊥AD，CD⊥PA，∴CD⊥平面PAD，10∵AQ⊂平面PAD，∴CD⊥AQ，∴AQ⊥平面PDC由①MN∥AQ，∴MN⊥平面PDC，又∵MN⊂平面PMC，∴平面PMC⊥平面PDC.18[解析](1)证明：如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD，又AB∥CD，所以BE⊥AB，又因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以PA⊥BE.而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB.又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.(2)由(1)知，BE⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以PB⊥BE.又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A－BE－P的平面角．在Rt△PAB中，tan∠PBA＝PAAB＝3，∠PBA＝60°.故二面角A－BE－P的大小是60°.