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12-3-3直线与平面垂直的性质一、选择题1．如果直线l与平面α不垂直，那么在平面α内()A．不存在与l垂直的直线B．存在一条与l垂直的直线C．存在无数条与l垂直的直线D．任意一条都与l垂直2．过一点和已知平面垂直的直线条数为()A．1条B．2条C．无数条D．不能确定3．若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面()A．有且只有一个B．可能存在也可能不存在C．有无数多个D．一定不存在4．已知一平面平行于两条异面直线，一直线与两异面直线都垂直，那么这个平面与这条直线的位置关系是()A．平行B．垂直C．斜交D．不能确定5．若a、b表示直线，α表示平面，①a⊥α，a⊥b，则b∥α；②a∥α，a⊥b，则b⊥α；③a∥α，b⊥α，则b⊥a；④a⊥α，b⊂α，则b⊥a.上述命题中正确的是()A．①②B．②③C．③④D．②③④6．已知三条直线m、n、l，三个平面α、β、γ，下面四个命题中，正确的是()A.α⊥γβ⊥γ⇒α∥βB.m∥βl⊥m⇒l⊥βC.m∥γn∥γ⇒m∥nD.α∥γβ∥γ⇒α∥β7．(2011－2012·杭州高二检测)如下图，设平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别是B、D，如果增加一个条件，就能推出BD⊥EF，这个条件不可能是下面四个选项中的()2A．AC⊥βB．AC⊥EFC．AC与BD在β内的射影在同一条直线上D．AC与α、β所成的角相等8．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列四个命题，其中真命题的是()①若m⊥n，n⊂α，则m⊥α；②若a⊥α，a⊂β，则α⊥β；③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；④若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n.A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④9．如下图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于()A．ACB．BDC．A1DD．A1D110．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是()3A．线段B1CB．线段BC1C．BB1中点与CC1中点连成的线段D．BC中点与B1C1中点连成的线段二、填空题11．已知直线m⊂平面α，直线n⊂平面α，m∩n＝M，直线a⊥m，a⊥n，直线b⊥m，b⊥n，则直线a，b的位置关系是________．12．已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如图所示，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝________.13．如图，PA⊥平面ABC，∠ACB＝90°，EF∥PA，则图中直角三角形的个数是________．414．线段AB在平面α的同侧，A、B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________．三、解答题15．如下图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1.[分析]转化为证明EF⊥平面AB1C，BD1⊥平面AB1C.16．在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于E，l⊥平面PCD.求证：l∥AE.5[分析]转化为证明AE⊥平面PCD，进而转化为证明AE垂直于平面PCD内的两条相交直线PD和CD.17．(2011－2012·吉林高一检测)如下图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC中点，求证：平面DMN∥平面ABC.18．如图，已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点．6(1)求证：MN⊥AB；(2)若PA＝AD，求证：MN⊥平面PCD.详解答案1[答案]C[解析]若l⊂α，显然在α内存在无数条直线与l垂直；若l∥α，过l作平面β∩α＝l′，则l∥l′，∵在α内存在无数条直线与l′垂直，从而在α内存在无数条直线与l垂直；若l与α斜交，设交点为A，在l上任取一点P，过P作PQ⊥α，垂足为Q，在α内存在无数条直线与AQ垂直，从而存在无数条直线与直线PA(即l)垂直．2[答案]A[解析]已知：平面α和一点P.求证：过点P与α垂直的直线只有一条．证明：不论点P在平面α外或平面α内，设PA⊥α，垂足为A(或P)．如果过点P还有一条直线PB⊥α，设PA、PB确定的平面为β，且α∩β＝a，于是在平面β内过点P有两条直线PA、PB垂直于交线a，这是不可能的．所以过点P与α垂直的直线只有一条．73[答案]B[解析]当a⊥b时，有且只有一个．当a与b不垂直时，不存在．4[答案]B[解析]设a，b为异面直线，a∥平面α，b∥α，直线l⊥a，l⊥b.过a作平面β∩α＝a′，则a∥a′，∴l⊥a′.同理过b作平面γ∩α＝b′，则l⊥b′，∵a，b异面，∴a′与b′相交，∴l⊥α.5[答案]C[解析]①b∥α或b⊂α②b⊥α或b∥α或b⊂α③、④正确，∴选C.6[答案]D[解析]对于A，α与β可以平行，也可以相交；对于B，l与β可以垂直，也可以斜交或平行；对于C，m与n可以平行，可以相交，也可以异面．7[答案]D8[答案]B[解析]①中，直线m垂直于平面α内的一条直线n，则直线m与平面α不一定垂直，所以①不是真命题；②是平面与平面垂直的判定定理，所以②是真命题．9[答案]B[解析]易得BD⊥面ACC1A1，又CE⊂面ACC1A1，∴CE⊥BD.10[答案]A[解析]∵DD1⊥平面ABCD，∴D1D⊥AC，又AC⊥BD，∴AC⊥平面BDD1，∴AC⊥BD1.同理BD1⊥B1C.又∵B1C∩AC＝C，∴BD1⊥平面AB1C.8而AP⊥BD1，∴AP⊂平面AB1C.又P∈平面BB1C1C，∴P点轨迹为平面AB1C与平面BB1C1C的交线B1C.故选A.11[答案]平行[解析]由于直线a垂直于平面α内的两条相交直线m，n，则a⊥α.同理，b⊥α，则a∥b.12[答案]6[解析]∵AF⊥平面AC，DE⊥平面AC，∴AF∥DE.又∵AF＝DE，∴四边形ADEF是平行四边形．∴EF＝AD＝6.13[答案]6[解析]由PA⊥平面ABC，得PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，又∵BC⊥AC，AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC.∵EF∥PA，PA⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC，∴EF⊥BE，EF⊥EC.∴△PAB，△PAC，△ABC，△PBC，△EFC，△BEF均为直角三角形．14[答案]4[解析]如图设AB中点为M，分别过A、M、B向α作垂线，垂足为A1、M1、B1，则由线面垂直的性质可知．AA1∥MM1∥BB1，四边形AA1B1B为直角梯形，AA1＝3，BB1＝5，MM1为其中位线，∴MM1＝4.15[证明]连接AB1，B1C，BD，B1D1，如图所示．9∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1B1.∴AC⊥BD1，同理BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，且A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C.∴EF∥BD1.[点评]当题中垂直条件很多，但又需证两直线的平行关系时，就要考虑直线与平面垂直的性质定理，从而完成垂直向平行的转化．16[证明]∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.又四边形ABCD是矩形，∴CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD.又AE⊂平面PAD，∴AE⊥DC.又AE⊥PD，PD∩CD＝D，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AE⊥平面PCD.又l⊥平面PCD，∴l∥AE.17[证明]∵M、N分别是EA与EC的中点，∴MN∥AC，AC⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，∴MN∥平面ABC，∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，∴BD∥EC，四边形BDEC为直角梯形，10∵N为EC中点，EC＝2BD，∴NC綊BD，∴四边形BCND为矩形，∴DN∥BC，又∵DN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DN∥平面ABC，又∵MN∩DN＝N，且MN、⊂平面DMN，DN⊂平面DMN，∴平面DMN∥平面ABC.18[证明](1)取CD的中点E，连接EM、EN，则CD⊥EM，且EN∥PD.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又AD⊥DC，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，从而CD⊥EN.又EM∩EN＝E，∴CD⊥平面MNE.因此，MN⊥CD，而CD∥AB，故MN⊥AB.(2)在Rt△PAD中有PA＝AD，取PD的中点K，连接AK，KN，则KN=12DC=AM，且AK⊥PD.∴四边形AMNK为平行四边形，从而MN∥AK.因此MN⊥PD.由(1)知MN⊥DC，又PD∩DC＝D，∴MN⊥平面PCD.