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12-3-4平面与平面平行的性质一、选择题1．平面α⊥平面β，α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则()A．m∥βB．m⊂βC．m⊥βD．m与β相交但不一定垂直2．已知平面α⊥平面β，直线a⊥β，则()A．a⊂αB．a∥αC．a⊥αD．a⊂α或a∥α3．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，在平面AB1上任取一点M，作ME⊥AB于E，则()A．ME⊥平面ACB．ME⊂平面ACC．ME∥平面ACD．以上都有可能4．在空间中，下列命题正确的是()A．若三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面B．若直线m与平面α内的一条直线平行，则m∥αC．若平面α⊥β，且α∩β＝l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面βD．若直线a∥b，且直线l⊥a，则l⊥b5．(09·广东文)给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一条直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中为真命题的是()A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④6．(2010·山东文，4)在空间，下列命题正确的是()A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行7．(09·浙江文)设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是()A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂β2B．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β8．如图所示，三棱锥P－ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是()A．一条线段B．一条直线C．一个圆D．一个圆，但要去掉两个点9．如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为π4和π6.过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则ABA′B′等于()A．2:1B．3:1C．3:2D．4:310．在正四面体(所有棱长都相等的三棱锥)P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立．．．的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABC3D．平面PAE⊥平面ABC二、填空题11．平面α⊥平面β，直线l⊂α，直线m⊂β，则直线l，m的位置关系是________．12．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，过平面A1B上任一点P作PE⊥AB于E，则直线PE与平面AC所成的角等于________．13．如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AA′⊥A′B′，BB′⊥A′B′，且AA′＝3，BB′＝4，A′B′＝2，则三棱锥A－A′BB′的体积V＝________.14．如下图所示，P是菱形ABCD所在平面外的一点，且∠DAB＝60°，边长为a.侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，PB与平面AC所成的角为θ，则θ＝________.三、解答题415．把一副三角板如图拼接，设BC＝6，∠A＝90°，AB＝AC，∠BCD＝90°，∠D＝60°，使两块三角板所在的平面互相垂直．求证：平面ABD⊥平面ACD.CD⊥ABAB⊥AC⇒AB⊥平面ACDAB⊂平面ABD⇒平面ABD⊥平面ACD.16．S为△ABC所在平面外一点，SA＝SB＝SC，且∠ASC＝90°，∠ASB＝∠BSC＝60°.求证：平面ASC⊥平面ABC.17．(2012·全国新课标)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝12AA1，D是棱AA1的中点．5(1)证明：平面BDC⊥平面BDC1；(2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．[命题意图]本题主要考查空间线线、线面、面面垂直的判定与性质及几何体的体积计算，考查空间想象能力、逻辑推理能力，是简单题．18．如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，F是PB的中点．求证：(1)DF⊥AP.(2)在线段AD上是否存在点G，使GF⊥平面PBC？若存在，说明G点的位置，并证明你的结论；若不存在，说明理由．详解答案1[答案]C2[答案]D3[答案]A6[解析]由于平面AB1⊥平面AC，平面AB1∩平面AC＝AB，ME⊥AB，ME⊂平面AB1，所以ME⊥平面AC.4[答案]D[解析]选项A中，若有3个交点，则确定一个平面，若三条直线交于一点，则不一定能确定一个平面，如正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1，AB，AD两两相交，但由AA1，AB，AD不能确定一个平面，所以A不正确；选项B中，缺少条件m是平面α外的一条直线，所以B不正确；选项C中，不满足面面垂直的性质定理的条件，必须是α内垂直于l的直线，所以C不正确；由于两条平行直线中的一条与第三条直线垂直，那么另一条也与第三条直线垂直，所以D正确．5[答案]D6[答案]D[解析]当两平行直线都与投影面α垂直时，其在α内的平行投影为两个点，当两平行直线所在平面与投影面α相交但不垂直时，其在α内的平行投影可平行，故A错；在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AA1与平面BCC1B1及平面CDD1C1都平行，但平面BCC1B1与平面CDD1C1相交，故B错；同样，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面BCC1B1及平面CDD1C1都与平面ABCD垂直，但此二平面相交，故C错；由线面垂直的性质定理知D正确．7[答案]C[解析]l⊥α，α⊥β⇒l∥β或l⊂β，A错；l∥α，α∥β⇒l∥β或l⊂β，B错；l⊥α，α∥β⇒l⊥β，C正确；若l∥α，α⊥β，则l与β位置关系不确定，D错．8[答案]D[解析]∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC⊂平面PAC，∴AC⊥平面PBC.又∵BC⊂平面PBC，∴AC⊥BC.∴∠ACB＝90°.∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点．9[答案]A[解析]由已知条件可知∠BAB′＝π4，∠ABA′＝π6，设AB＝2a，则BB′＝2asinπ4＝2a，A′B＝2acosπ6＝3a，∴在Rt△BB′A′中，得A′B′＝a，∴AB:A′B′＝2:1.10[答案]C7[解析]∵D、F分别为AB、CA中点，∴DF∥BC.∴BC∥平面PDF，故A正确．又∵P－ABC为正四面体，∴P在底面ABC内的射影O在AE上．∴PO⊥平面ABC.∴PO⊥DF.又∵E为BC中点，∴AE⊥BC，∴AE⊥DF.又∵PO∩AE＝O，∴DF⊥平面PAE，故B正确．又∵PO⊂面PAE，PO⊥平面ABC，∴面PAE⊥面ABC，故D正确．∴四个结论中不成立的是C.11[答案]相交、平行、异面12[答案]90°[解析]∵平面A1B⊥平面AC，平面A1B∩平面AC＝AB，PE⊂平面A1B，PE⊥AB，∴PE⊥平面AC，∴PE与平面AC所成的角等于90°.13[答案]4[解析]∵α⊥β，α∩β＝A′B′，AA′⊂α，AA′⊥A′B′，∴AA′⊥β，∴V＝13S△A′BB′·AA′＝13×(12A′B′×BB′)×AA′＝13×12×2×4×3＝4.14[答案]45°[解析]如图所示，取AD的中点G，连接PG，BG，BD.8∵△PAD是等边三角形，∴PG⊥AD，又平面PAD⊥平面AC，平面PAD∩平面AC＝AD，PG⊂平面PAD，∴PG⊥平面AC，∴∠PBG是PB与平面AC所成的角θ.在△PBG中，PG⊥BG，BG＝PG，∴∠PBG＝45°，即θ＝45°.15[证明]平面ABC⊥平面BCDCD⊥BC⇒CD⊥平面ABCAB⊂平面ABC⇒16[解析]如图，设SA＝SB＝SC＝a.∵∠ASC＝90°，∠ASB＝∠BSC＝60°，∴AC＝2a，AB＝BC＝a，则AB2＋BC2＝AC2，∴∠ABC＝90°.9取AC中点O，连接SO、BO.则SO⊥AC，BO⊥AC，∠SOB为二面角S－AC－B的平面角．∵SO＝OB＝22a，∴SO2＋OB2＝SB2，∴∠SOB＝90°，∴平面ASC⊥平面ABC.17[解析](1)由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，∴BC⊥平面ACC1A1，又∵DC1⊂面ACC1A1，∴DC1⊥BC，由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，∴∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC，又∵DC∩BC＝C，∴DC1⊥平面BDC，∵DC1⊂平面BDC1，∴平面BDC⊥平面BDC1；(2)设棱锥B－DACC1的体积为V1，AC＝1，由题意得，V1＝13×1＋22×1×1＝12，由三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝1，∴(V－V1V1＝，∴平面BDC1分此棱柱为两部分体积之比为18[证明](1)取AB的中点E，则PA∥EF.设PD＝DC＝a，易求得DE＝52a，FE＝12PA＝22a，DF＝12PB＝32a.由于DE2＝EF2＋DF2，故DF⊥EF，又EF∥PA，∴DF⊥PA.(2)在线段AD上存在点G，使GF⊥平面PBC，且G点是AD的中点．取AD的中点G，连接PG、BG，则PG＝BG.又F为AB的中点，故GF⊥PB.∵F为PB中点，∴F点在底面ABCD上的射影为正方形ABCD的中心O，∴GO为GF在平面ABCD上的射影，∵GO⊥BC，∴GF⊥BC，∵BC、PB是平面PBC内的两条相交直线，∴GF⊥平面PBC.