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13-3-1同步检测一、选择题1．直线3x－y＝0与x＋y＝0的位置关系是()A．相交B．平行C．重合D．垂直2．直线2x＋3y＋8＝0和直线x－y－1＝0的交点坐标是()A．(－2，－1)B．(－1，－2)C．(1,2)D．(2,1)3．直线ax＋3y－5＝0经过点(2,1)，则a的值等于()A．2B．1C．0D．－14．直线l的倾斜角为30°，且过点B(0,1)，直线l交x轴于点A，则|OA|、|AB|的值分别为()A．1,2B.3，2C．1，3D.33，25．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y＝1，和x＋ky＝0相交于一点，则k的值等于()A．－2B．－12C．2D.126．直线kx－y＋1＝3k，当k变动时，所有直线都通过定点()A．(0,0)B．(0,1)C．(3,1)D．(2,1)6[答案]C7．已知点M(0，－1)，点N在直线x－y＋1＝0上，若直线MN2垂直于直线x＋2y－3＝0，则N点的坐标是()A．(－2，－3)B．(2,1)C．(2,3)D．(－2，－1)8．过两直线3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是()A．x－3y＋7＝0B．x－3y＋13＝0C．2x－y＋7＝0D．3x－y－5＝09．已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足为(1，p)，则m－n＋p为()A．24B．20C．0D．－410．设集合A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝7}，则满足CA∩B)的集合C的个数是()A．0B．1C．2D．3二、填空题11．过原点和直线l1：x－3y＋4＝0与l2：2x＋y＋5＝0的交点的直线的方程为________．12．在△ABC中，高线AD与BE的方程分别是x＋5y－3＝0和x＋y－1＝0，AB边所在直线的方程是x＋3y－1＝0，则△ABC的顶点坐标分别是A________；B________；C________.13．直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与直线(a＋2)x＋(2a＋3)y＋2＝0不相交，则实数a＝________.14．已知直线l1：a1x＋b1y＝1和直线l2：a2x＋b2y＝1相交于点P(2,3)，则经过点P1(a1，b1)和P2(a2，b2)的直线方程是________．3三、解答题15．判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标：(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0；(3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0.16．已知直线x＋y－3m＝0和2x－y＋2m－1＝0的交点M在第四象限，求实数m的取值范围．[分析]解方程组得交点坐标，再根据点M在第四象限列出不等式组，解得m的取值范围．17．直线l过定点P(0,1)，且与直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0分别交于A、B两点．若线段AB的中点为P，求直线l的方程．18．求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．[分析]题目所给的直线方程的系数中含有字母m，给定m一个实数值，就可以得到一条确定的直线，因此所给的方程是以m为参数的直线系方程，要证明这个直线系中的直线都过一定点，就是证明它是一个共点的直线系，我们可以给出m的两个特殊值，得到直线系中的两条直线，它们的交点即是直线系中任何直线都过的定点．另一思路是：由于方程对任意的m都成立，那么就以m为未知数，整理为关于m的一元一次方程，再由一元一次方程有无数个解的条件求得定点的坐标．详解答案1[答案]A4[解析]A1B2－A2B1＝3×1－1×(－1)＝3＋1≠0，又A1A2＋B1B2＝3×1＋(－1)×1＝3－1≠0，则这两条直线相交，但不垂直．2[答案]B[解析]解方程组2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0，得x＝－1，y＝－2，即交点坐标是(－1，－2)．3[答案]B[解析]由题意得2a＋3－5＝0，解得a＝1.4[答案]B[解析]由直线l的倾斜角是30°及|OB|＝1知，|AB|＝2，∴|OA|＝3.5[答案]B[解析]由x－y＝12x＋3y＋8＝0得交点(－1，－2)，代入x＋ky＝0得k＝－12，故选B.[解析]方程可化为y－1＝k(x－3)，即直线都通过定点(3,1)．7[答案]C[解析]将A、B、C、D四个选项代入x－y＋1＝0否定A、B，又MN与x＋2y－3＝0垂直，否定D，故选C.8[答案]B[解析]由3x＋y－1＝0，x＋2y－7＝0，得交点(－1,4)．∵所求直线与3x＋y－1＝0垂直，5∴所求直线斜率k＝13，∴y－4＝13(x＋1)，即x－3y＋13＝0.9[答案]B[解析]∵两直线互相垂直，∴k1·k2＝－1，∴－m4·25＝－1，∴m＝10.又∵垂足为(1，p)，∴代入直线10x＋4y－2＝0得p＝－2，将(1，－2)代入直线2x－5y＋n＝0得n＝－12，∴m－n＋p＝20.10[答案]C[解析]A∩B＝{(x，y)|4x＋y＝63x＋2y＝7}＝{(1,2)}，则集合C是{(1,2)}的子集．又集合{(1,2)}的子集有∅，{(1,2)}共2个，即集合C有2个．11[答案]3x＋19y＝0[解析]由x－3y＋4＝0，2x＋y＋5＝0，得交点坐标(－197，37)，∴所求方程为y＝－319x，即3x＋19y＝0.12[答案](－2,1)(1,0)(2,5)[解析]高线AD与边AB的交点即为顶点A，高线BE与边AB的交点即为顶点B，顶点C通过垂直关系进行求解．13[答案]－2或－23[解析]由题意，得(a＋2)(2a＋3)－(1－a)(a＋2)＝0，解得a＝－2或－23.14[答案]2x＋3y＝1[解析]由题意得P(2,3)在直线l1和l2上，6所以有2a1＋3b1＝1，2a2＋3b2＝1，则点P1(a1，b1)和P2(a2，b2)的坐标是方程2x＋3y＝1的解，所以经过点P1(a1，b1)和P2(a2，b2)的直线方程是2x＋3y＝1.15[解](1)解方程组2x＋y＋3＝0，x－2y－1＝0，得x＝－1，y＝－1，所以直线l1与l2相交，交点坐标为(－1，－1)．(2)解方程组x＋y＋2＝0，①2x＋2y＋3＝0，②①×2－②得1＝0，矛盾，方程组无解．所以直线l1与l2无公共点，即l1∥l2.(3)解方程组x－y＋1＝0，①2x－2y＋2＝0，②①×2得2x－2y＋2＝0.因此，①和②可以化为同一个方程，即①和②表示同一条直线，所以直线l1与l2重合．16[解析]由x＋y－3m＝0，2x－y＋2m－1＝0，得x＝m＋13，y＝8m－13.∴交点M的坐标为(m＋13，8m－13)．∵交点M在第四象限，∴m＋130，8m－130，解得－1m18.∴m的取值范围是(－1，18)．717[解析]解法1：设A(x0，y0)，由中点公式，有B(－x0，2－y0)，∵A在l1上，B在l2上，∴x0－3y0＋10＝0－2x0＋2－y0－8＝0⇒x0＝－4y0＝2∴kAP＝1－20＋4＝－14故所求直线l的方程为：y＝－14x＋1，即x＋4y－4＝0.解法2：设所求直线l方程为：y＝kx＋1，l与l1、l2分别交于M、N.解方程组y＝kx＋1x－3y＋10＝0⇒N(73k－1，10k－13k－1)解方程组y＝kx＋12x＋y－8＝0⇒M(7k＋2，8k＋2k＋2)∵M、N的中点为P(0,1)则有：12(73k－1＋7k＋2)＝0⇒∴k＝－14.故所求直线l的方程为x＋4y－4＝0.解法3：设所求直线l与l1、l2分别交于M(x1，y1)、N(x2，y2)，P(0,1)为MN的中点，则有：x1＋x2＝0，y1＋y2＝2⇒x2＝－x1，y2＝2－y1.代入l2的方程，得：2(－x1)＋2－y1－8＝0即2x1＋y1＋6＝0.解方程组x1－3y1＋10＝02x1＋y1＋6＝0⇒M(－4,2)．8由两点式：所求直线l的方程为x＋4y－4＝0.解法4：同解法1，设A(x0，y0)，x0－3y0＋10＝02x0＋y0＋6＝0，两式相减得x0＋4y0－4＝0，(1)考察直线x＋4y－4＝0，一方面由(1)知A(x0，y0)在该直线上；另一方面，P(0,1)也在该直线上，从而直线x＋4y－4＝0过点P、A.根据两点决定一条直线知，所求直线l的方程为：x＋4y－4＝0.18[解析]证法一：对于方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0，令m＝0，得x－3y－11＝0；令m＝1，得x＋4y＋10＝0.解方程组x－3y－11＝0，x＋4y＋10＝0，得两直线的交点为(2，－3)．将点(2，－3)代入已知直线方程左边，得(2m－1)×2＋(m＋3)×(－3)－(m－11)＝4m－2－3m－9－m＋11＝0.这表明不论m取什么实数，所给直线都经过定点(2，－3)．证法二：将已知方程以m为未知数，整理为(2x＋y－1)m＋(－x＋3y＋11)＝0.因为m可以取任意实数，所以有2x＋y－1＝0，－x＋3y＋11＝0，解得x＝2，y＝－3.所以不论m取什么实数所给的直线都经过定点(2，－3)．[点评](1)分别令参数取两个特殊值得方程组，求出点的坐标，代入原方程满足，则此点为定点．(2)直线过定点，即与参数无关，则参数的同次幂的系数为0，从9而求出定点．