必修2全册同步检测423高中数学练习试题

14-2-3同步检测一、选择题1．一辆卡车宽1.6m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6m)则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过()A．1.4mB．3.5mC．3.6mD．2.0m2．将直线x＋y＝1绕点(1,0)逆时针旋转90°后与圆x2＋(y－1)2＝r2(r0)相切，则r的值是()A.22B.2C.322D．13．与圆x2＋y2－ax－2y＋1＝0关于直线x－y－1＝0对称的圆的方程是x2＋y2－4x＋3＝0，则a＝()A．0B．1C．2D．34．直线2x－y＝0与圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝9交于A、B两点，则△ABC(C为圆心)的面积等于()A．25B．23C．43D．455．圆(x－4)2＋(y－4)2＝4与直线y＝kx的交点为P、Q，原点为O，则|OP|·|OQ|的值为()A．27B．28C．32D．由k确定6．点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，直线PA、PB分别与圆x2＋y2＝4相切于A、B两点，则四边形PAOB(O为坐标原点)的面积2的最小值等于()A．24B．16C．8D．47．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)的位置是()A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．以上都不对8．(2008年山东高考题)已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A．106B．206C．306D．4069．方程1－x2＝kx＋2有唯一解，则实数k的范围是()A．k＝±3B．k∈(－2,2)C．k－2或k2D．k－2或k2或k＝±310．(拔高题)台风中心从A地以每小时20km的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险地区，城市B在A的正东40km外，B城市处于危险区内的时间为()A．0.5hB．1hC．1.5hD．2h二、填空题11．已知实数x，y满足x2＋y2－4x＋1＝0.则x－y的最大值和最小值分别是________和________．3yx的最大值和最小值分别是________和________．x2＋y2的最大值和最小值分别是______和______．12．如图所示，一座圆拱桥，当水面在某位置时，拱顶离水面2m，水面宽12m，当水面下降1m后，水面宽为________m.13．已知直线x－2y－3＝0与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝9相交于E，F两点，圆心为点C，则△CEF的面积等于________．14．若点P在直线l1：x＋y＋3＝0上，过点P的直线l2与曲线C：(x－5)2＋y2＝16相切于点M，则|PM|的最小值________．三、解答题15．街头有一片绿地，绿地如图所示(单位：m)，其中ABC为圆弧，求此绿地面积．16．某圆拱桥的示意图如下图所示，该圆拱的跨度AB是36m，拱高OP是6m，在建造时，每隔3m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长．(精确到0.01m)4[分析]建系→求点的坐标→求圆的方程→求A2P2的长17．如图所示，已知直线l的解析式是y＝43x－4，并且与x轴、y轴分别交于A，B两点．一个半径为1.5的圆C，圆心C从点(0,1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动，当圆C与直线l相切时，求该圆运动的时间．18．如图，直角△ABC的斜边长为定值2m，以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆，直线BC交圆于P、Q两点，求证：|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2为定值．5详解答案1[答案]B[解析]圆半径OA＝3.6，卡车宽1.6，∴AB＝0.8，∴弦心距OB＝3.62－0.82≈3.5.2[答案]B[解析]将x＋y＝1绕点(1,0)逆时针旋转90°后，所得直线的方程为x－y＝1.又圆的圆心坐标为(0,1)，∴相切时有r＝|0－1－1|2＝2，∴r的值为2.3[答案]C[解析]x2＋y2－4x＋3＝0化为标准形式为(x－2)2＋y2＝1，圆心为(2,0)，6∵(2,0)关于直线x－y－1＝0对称的点为(1,1)，∴x2＋y2－ax－2y＋1＝0的圆心为(1,1)．∵x2＋y2－ax－2y＋1＝0，即为(x－a2)2＋(y－1)2＝a24，圆心为(a2，1)，∴a2＝1，即a＝2.4[答案]A[解析]∵圆心到直线的距离d＝|4＋1|5＝5，∴|AB|＝29－d2＝4，∴S△ABC＝12×4×5＝25..5[答案]B[解析]由平面几何知识可知|OP|·|OQ|等于过O点圆的切线长的平方．6[答案]C[解析]∵四边形PAOB的面积S＝2×12|PA|×|OA|＝2OP2－OA2＝2OP2－4，∴当直线OP垂直直线2x＋y＋10＝0时，其面积S最小．7[答案]B[解析]由|0＋0－1|a2＋b21，∴a2＋b21.8[答案]B[解析]圆心坐标是(3,4)，半径是5，圆心到点(3,5)的距离为1，根据题意最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直，故最短弦的长为252－12＝46，所以四边形ABCD的面积为12×AC×BD＝12×10×46＝206.79[答案]D[解析]由题意知，直线y＝kx＋2与半圆x2＋y2＝1(y≥0只有一个交点．结合图形易得k－2或k2或k＝±3.10[答案]B[解析]建系后写出直线和圆的方程，求得弦长为20千米，故处于危险区内的时间为2020＝1(h)．11[答案]2＋6，2－6；1，－1；7＋43，7－43[解析](1)设x－y＝b则y＝x－b与圆x2＋y2－4x＋1＝0有公共点，即|2－b|12＋12≤3，∴2－6≤b≤2＋6故x－y最大值为2＋6，最小值为2－6(2)设yx＝k，则y＝kx与x2＋y2－4x＋1＝0有公共点，即|2k|1＋k2≤3∴3≤k≤3，故yx最大值为3，最小值为－3(3)圆心(2,0)到原点距离为2，半径r＝3故(2－3)2≤x2＋y2≤(2＋3)2由此x2＋y2最大值为7＋43，最小值为7－43.12[答案]2518[解析]如下图所示，以圆拱拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y轴，建立直角坐标系，设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知得A(6，－2)，B(－6，－2)．设圆的半径为r，则C(0，－r)，即圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2.①将点A的坐标(6，－2)代入方程①，解得r＝10.∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.②当水面下降1m后，可设点A′的坐标为(x0，－3)(x00)，将A′的坐标(x0，－3)代入方程②，求得x0＝51.所以，水面下降1m后，水面宽为2x0＝251.13[答案]25[解析]∵圆心C(2，－3)到直线的距离为d＝|2＋6－3|1＋－22＝5，又R＝3，∴|EF|＝2R2－d2＝4.∴S△CEF＝12|EF|·d＝25.14[答案]4[解析]曲线C：(x－5)2＋y2＝16是圆心为C(5,0)，半径为4的圆，连接CP，CM，则在△MPC中，CM⊥PM，则|PM|＝|CP|2－|CM|29＝|CP|2－16，当|PM|取最小值时，|CP|取最小值，又点P在直线l1上，则|CP|的最小值是点C到直线l1的距离，即|CP|的最小值为d＝|5＋3|1＋1＝42，则|PM|的最小值为422－16＝4.15[解析]如图所示建立坐标系，各点坐标分别为A(0,7)，B(3,8)，C(7,6)，所以可得过A、B、C三点的圆弧方程为(x－3)2＋(y－3)2＝25(0≤x≤7，y0)．|AC|＝7－02＋6－72＝52，设圆弧的圆心为E，则∠AEC＝90°.故所求的面积为S梯形AODC＋S弓形ABC＝S梯形AODC＋(S扇形ACE－S△ACE)＝7＋6×72＋14π×52－12×52＝33＋25π4m2.16[解析]如图，以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A，B，P的坐标分别为(－18,0)，(18,0)，(0,6)．设圆拱所在的圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.10因为A，B，P在此圆上，故有182－18D＋F＝0，182＋18D＋F＝0，62＋6E＋F＝0，解得D＝0，E＝48，F＝－324.故圆拱所在的圆的方程是x2＋y2＋48y－324＝0.将点P2的横坐标x＝6代入上式，解得y＝－24＋126.答：支柱A2P2的长约为126－24.[点评]在实际问题中，遇到有关直线和圆的问题，通常建立坐标系，利用坐标法解决．建立适当的直角坐标系应遵循三点：①若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴；②常选特殊点作为直角坐标系的原点；尽量使已知点位于坐标轴上．建立适当的直角坐标系，会简化运算过程．17[解析]设运动的时间为tt，则tt后圆心的坐标为(0,1.5－0.5t)．∵圆C与直线l：y＝43x－4，即4x－3y－12＝0相切，∴|4×0－3×1.5－0.5t－12|32＋42＝1.5.解得t＝6或16.即该圆运动的时间为6t或16t.18[证明]如图，以O为坐标原点，以直线BC为x轴，建立平面直角坐标系，于是有B(－m,0)，C(m,0)，P(－n,0)，Q(n,0)．设A(x，y)，由已知，点A在圆x2＋y2＝m2上．|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2＝(x＋n)2＋y2＋(x－n)2＋y2＋4n2＝2x2＋2y2＋6n2＝2m2＋6n2(定值)．