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1抛物线及其标准方程同步试题一、选择题1．若是定直线外的一定点，则过与相切圆的圆心轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线一支D．抛物线2．抛物线的焦点到准线的距离是（）A．2.5B．5C．7.5D．103．已知原点为顶点，轴为对称轴的抛物线的焦点在直线上，则此抛物线的方程是（）A．B．C．D．4．．抛物线的焦点坐标是（）．A．B．C．D．5．抛物线（）的焦点坐标为（）A．B．C．D．时为，时为6．抛物线的准线方程是（）A．B．C．D．7．若点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是（）A．B．C．D．8．抛物线的焦点位于（）A．轴的负半轴上B．轴的正半轴上C．轴的负半轴上D．轴的正半轴上9．抛物线的焦点坐标是（）2A．B．C．D．10．与椭圆有相同的焦点，且顶点在原点的抛物线方程是（）A．B．C．D．11．过（0，1）作直线，使它与抛物线仅有一个公共点，这样的直线有（）条A．1B．2C．3D．412．设抛物线（）与直线（）有两个公共点，其横坐标分别是、，而是直线与轴交点的横坐标，则、、关系是（）A．B．C．D．13．已知点，是抛物线的焦点，点在抛物线上移动时，取得最小值时点的坐标为（）．A．（0，0）B．C．D．（2，2）14．设，是抛物线上的不同两点，则是弦过焦点的（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．不充分不必要条件二、填空题1．过点（－2，3）的抛物线的标准方程为__________．2．点M与的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程为___________．3．已知椭圆以抛物线的顶点为中心，以此抛物线的焦点为右焦点，又椭圆的短轴长为2，则此椭圆方程为___________．4．在抛物线上有一点，它到焦点的距离是20，则点的坐标是_________．35．已知抛物线（）上一点到焦点的距离等于，则=_______，=________．6．抛物线的焦点弦的端点为，，且，则=_______．7．若正三角形的一个顶点在原点，另两个顶点在抛物线（）上，则这个三角形的面积为__________．8．抛物线上的一点到轴的距离为12，则与焦点间的距离=______．9．若以曲线的中心为顶点，左准线为准线的抛物线与已知曲线右准线交于、两点，若点的纵坐标为，则点的纵坐标为__________．10．过抛物线的对称轴上一点作一条直线与抛物线交于、两点，若点的纵坐标为，则点的纵坐标为__________．11．在抛物线内，通过点（2，1）且在此点被平分的弦所在直线的方程是________．12．已知点（－2，3）与抛物线（）的焦点的距离是5，则=_________．13．焦点在直线的抛物线的标准方程是________________．三、解答题1．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是轴，抛物线上的点到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和的值．2．已知点和抛物线上的动点，点分线段为，求点的轨迹方程．3．求顶点在原点，以轴为对称轴，其上各点与直线的最短距离为1的抛物线方程．4．抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，、为抛物线上两点，且，方程为，，求抛物线方程．5．若直线交抛物线于、两点，且中点的横坐标是2，求．46．过抛物线的焦点引一直线，已知直线被抛物线截得的弦被焦点分成2：1，求这条直线的方程．7．某抛物线形拱桥跨度是20米，拱度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱长．8．已知抛物线，过焦点的直线交抛物线交于，两点，直线的倾斜角为，求证：．9．是否存在同时满足下列两个条件的直线：①与抛物线有两个不同的交点，；②线段被直线垂直平分．若不存在，说明理由；若存在，求出的方程．10．如果抛物线和圆相交，它们在轴上方的交点为、，那么当为何值时，线段中点在直线？参考答案：一、1．D2．B3．D4．B5．C6．D7．C8．C9．B10．B11．C12．C13．D14．C二、1．或；2．；3．4．（18，12）或（18，－12）；5．，；6．47．；8．13；9．；10．11．；12．4；13．或三、1．据题意可知，抛物线方程应设为（），则焦点是点在抛物线上，且，故，解得或抛物线方程，2．设，，，5即，，而点在抛物线上，，即所求点的轨迹方程为3．依题设可设抛物线方程为（）此抛物线上各点与直线的最短距离为1，此抛物线在直线下方而且距离为1的直线相切．由有所求抛物线方程为：4．设方程为（），方程为方程为由，由，又又，所求方程为由对称性可知开口向左的方程为5．6．由得焦点，设所求弦两端点为，，直线①②6又过焦点，且，故③由②③解得或把、代入①式得故所求的直线方程为7．3.84米．8．分、两种情况证明．9．若存在直线，则垂直平分，所以．设的方程为，代入整理得，则中点为，代入的方程得，故．经检验满足，故符合条件的直线存在，其方程为．10．设，，，由及可得．因为，．所以，．又在直线上，所以，解得，又由得或．所以当时，线段的中点在直线上．7