指数函数与对数函数

海量资源尽在星星文库：卷（指数函数与对数函数）说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.第Ⅰ卷(选择题共30分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.设f:x→y=2x是A→B的映射，已知集合B={0,1,2,3,4},则A满足（）A.A={1，2，4，8，16}B.A={0，1，2，log23}C.A{0,1,2,log23}D.不存在满足条件集合考查映射概念、指数、对数运算.【解析】A中每个元素在集合中都有象，令2x=0，方程无解.分别令2x=1,2,3,4,解得x=0,1,log23,2.【答案】C2.设P={y|y=x2,x∈R},Q={y|y=2x,x∈R},则（）A.Q=PB.QPC.P∩Q={2,4}D.P∩Q={(2,4)}考查集合间关系及函数值域.【解析】P=［0,+∞),Q=(0,＋∞).【答案】B3.已知函数f(x)=loga(2－ax)在［0，1］上为减函数，则a的取值范围是（）A.（0，1）B.（1，2）C.（0，2）D.［2，+∞)考查对数函数定义域及单调性.【解析】由y=loga(2－ax)单调性及2－ax0对任意x∈［0,1］恒成立，可求得1a2.【答案】B4.已知函数f(x)=)0(3)0(log2xxxx时f［f(41)］的值是（）A.9B.91C.－9D.－91考查对分段函数对应法则的理解.【解析】f(41)=log241=－2,f(－2)=3－2=91【答案】B5.若函数f(x)=log2(x－1)+log2(x+2)的反函数为g(x),则g(2)等于（）A.1B.－3C.2D.2或－3考查对数函数及互为反函数间的函数关系.【解析】依题意2)2)(1(log12xxxx=2【答案】C6.已知f(x)=ax,g(x)=logax(a0且a≠1)，若f(3)g(3)0,则f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能是（）海量资源尽在星星文库：【解析】∵f(3)=a30,∴g(3)=loga30,∴0a1【答案】C7.若函数y=log21(2－log2x)的值域是（－∞,0），则其定义域是（）A.x2B.0x2C.0x4D.2x4考查对数函数定义域、值域.【解】令2－log2x=u,由题意知u1,log2x1,故0x2.【答案】B8.若定义运算a*b=)()(ababab，则函数f(x)=3x*3－x的值域是（）A.(0,1B.［1,+C.(0,+∞)D.(－∞,+∞)考查函数值域及灵活运用能力.【解析】若3x≥3－x,即x≥0,则f(x)=3－x若3x3－x,即x0,则f(x)=3x故值域为（0，1］【答案】A9.若x0是方程2x=x1的解，则x0∈（）A.(0.1,0.2)B.(0.3,0.4)C.(0.5,0.7)D.(0.9,1)考查指数函数图象性质及估算能力.【解析】画出y=2x，y=x1图象.海量资源尽在星星文库：∵20.120.21,而1.012.01=5排除A，同理排除B20.5=2≈1.414,20.720.5,而5.01=2,7.01≈1.4282120.920.5≈1.414,而9.01≈1.11【答案】C10.今有一组实验数据如下：t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（）A.v=log2tB.v=log21tC.v=212tD.v=2t－2考查构建数学模型的能力，具开放性.【解析】五组数据，取近似值1.99≈2;4.04≈4;5.1≈5,18.01≈18，代入验证可知v=212t最接近.【答案】C第Ⅱ卷(非选择题共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11.方程log3(1－2·3x)=2x+1的解x=______.考查对数与指数运算.【解析】32x+1=1－2·3x，即3(3x)2+2·3x－1=0解得3x=31,故x=－1【答案】－112.函数f(x)=ax(a0且a≠1)在区间［1，2］上的最大值比最小值大2a，则a的值为______.考查指数函数的单调性及解决问题的能力.【解析】当a1时，f(x)为增函数，a2－a=2a,得a=23当0a1时，f(x)=ax在［1，2］上为减函数，有a－a2=2aa=21,故a=21或23【答案】21或23海量资源尽在星星文库：(x)=),1(log1,(281xxxx，则满足f(x)=41的值为______.考查分段函数对应法则理解及对数运算.【解析】若x∈(－∞,1),有2－x=41,∴x=2，但2(－∞,1;若x∈（1,+∞），有log81x=41∴x=3符合题意【答案】314.国家规定的个人稿酬纳税方法是：不超过800元的不纳税，超过800元而不超过4000元的按超过800元的14%纳税；超过4000元按全部稿酬的11%纳税，某人出版了一本书，共纳税420元，他的稿费为______元.考查函数应用及解决实际问题的能力.【解析】若其稿费为4000，则应纳税3200×14%=448420故稿费应小于4000元，设为x元则(x－800)14%=420,解得x=3800(元)【答案】3800三、解答题（本大题共5小题，共54分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题满分8分）已知函数f(x)=21+lgxx11.（1）求此函数的定义域，并判断函数单调性.（2）解关于x的不等式f［x(x－21)］21.【解】（1）f(x)=21+lgxx11=21+lg(－1+x12)要使f(x)有意义，即xx110,∴f(x)的定义域为－1x1设－1x1x21,则f(x1)－f(x2)=lg(－1+112x)－lg(－1+212x)∵－1x1x21,∴0x1+1x2+1∴－1+112x－1+212x∴f(x1)f(x2),即f(x)在(－1,1)上为减函数（2）∵f(0)=21,∴f［x(x－21)］21=f(0)由（1）知f(x)在(－1,1)上为奇函数∴0)21(1)21(1xxxx,解得：41712104171xx或海量资源尽在星星文库：即不等式解集为(4171,0)∪(21,4171)16.(本小题满分10分)已知y=log4(2x+3－x2).（1）求定义域；（2）求f(x)的单调区间；（3）求y的最大值，并求取最大值时x值.考查对数函数、二次函数的单调性、最值.【解】（1）由2x+3－x20,解得－1x3∴f(x)定义域为{x|－1x3}(2)令u=2x+3－x2，则u0,y=log4u由于u=2x+3－x2=－(x－1)2+4再考虑定义域可知，其增区间是（－1，1），减区间是［1,3又y=log4u为(0,+∞)增函数，故该函数单调递增区间为1，1］，减区间为［1，3）（3）∵u=2x+3－x2=－(x－1)2+4≤4∴y=log4u≤log44=1故当x=1时，u取最大值4时，y取最大值1.17.（本小题满分12分）已知函数f(x)=2x－x2(x≥0)，问是否存在这样的正数a、b，当x∈［a,b］时g(x)=f(x),且g(x)值域［b1,a1］？若存在，求出所有a、b之值，若不存在，请说明理由.考查函数知识综合运用，分类讨论思想.【解】分三种情况讨论:①当0ab≤1时，那么a11,而当x≥0时，f(x)的最大值为1，故此时不可能使g(x)=f(x)②当0a1b时，则g(x)最大值为g(1)=f(1)=1,即a1=1,得a=1与0a1b矛盾③当1≤ab时，∵x≥1,f(x)为减函数，则g(x)=f(x)=2x－x2,于是有aaagabbbgb2)(12)(122即0)1)(1(0)1)(1(22aaabbb∵1≤ab,∴a=1,b=25118.（本小题满分12分）若p∈R,且当|log2p|2时，不等式px+12x－p恒成立,试求x的取值范围.考查对数基本概念及分类讨论思想.【解】由|log2p|2得－2log2p2,则41p4海量资源尽在星星文库：－p,得p(x+1)2x－1①当x－1时，112xxp,即xxx141112,解得－1x≤75②当x－1时，112xxp,即14112xxx,解得－25≤x－1∴x的取值范围为（－1，75∪［－25,－119.(本小题满分12分)某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量使用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间近似满足如图曲线(1)写出服药后y与t之间的函数关系式；(2)据测定，每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药为7：00，问一天中怎样安排服药时间、次数，效果最佳？考查函数应用及分析解决问题的能力.【解】（1）依题意，得y=)821(53254)210(12tttt(2)设第二次服药时，在第一次服药后t1小时则－54t1+532=4,t1=3因而第二次服药应在10:00设第三次服药在第一次服药后t2小时，则此时血液中含药量应为两次服药后含药量之和，即有－54t2+532－54(t2－3)+532=4解得：t2=7（小时）设第四次服药在第一次服药后t3小时(t38)，则此时第一次服的药已吸收完，此时血液中含药量应为第二、三次之和－54(t3－3)+532+［－54(t3－7)+532］=4解得t3=10.5小时故第四次服药应在17:30.