数列证明题

高考网数列证明题１、已知a+b+c,b+c－a,c+a－b,a+b－c成等比数列,公比为q,求证：(1)q3+q2+q=1;(2)q=ca.2、设数列{an}的前n项和为Sn，若对于所有的自然数n，都有Sn=2)(1naan,证明{an}是等差数列。3、已知数列{an}的前n项和Sn=4－4·2-n，(n∈N)，求证：{an}成等比数列。4、数列{an}的前n项和Sn=2-2n，求证数列{an}是等差数列。5、已知数列}{na中，0na，前n项的和为nS，且满足.)2(812nnaS求证：数列}{na是等差数列.6、数列na的前n项之和Sn=3n2(n=1,2,3,…).(1)求证：an+1－an是与n无关的定值.(2)求数列na的通项公式.7、两个数列{an}，{bn}满足关系式bn=123123123aaanann(nN*)，若{bn}是等差数列，求证{an}也是等差数列。8、已知a、b、c成等差数列，x与y分别是a、b与b、c的等比中项，求证：x2、b2、y2也成等差数列。9、已知等比数列{an}与等差数列{bn}满足a1＞0，12aa＞0，b2－b1＞0，求证：一定存在实数a，使logaan－bn与n无关。10、设An为数列}{na前n项的和，An＝))(1(23Nnan。数列}{nb的通项公式为)(34Nnnbn.若},,,,{},,,,,{321321nnbbbbaaaad，，则称d为数列}{na与}{nb的公共项。将数列}{na与}{nb的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列}{nd，证明数列}{nd的通项公式为)(312Nndnn.答案提示1、q+q2+q3是等比数列第2,3,4项之和与第一项的比值.2、当n≥2时，由题设，2))(1(111nnaanS，2)(1nnaanS.高考网所以1nnnSSa2))(1(2)(111nnaanaan.同理有2))(1(111nnaana2)(1naan2))(1(11naan.整理得an＋1－an=an－an－1，对于任意n≥2成立，因此an＋1－an=an－an－1=…=a2－a1，从而{an}是等差数列。２、首项a1＝2，公比q＝214、略5、证明：∵2)2(81nnaS，∴211)2(81nnaS)4)((8111nnnnnaaaaa，即212)2()2(nnaa而0na，∴22|2|1nnaa.即422nnaa，∴221nnaa，∴41nnaa.∴}{na是等差数列，或022nnaa（舍去），1a＝2.6、(1)略(2)an=6n－37、略8、证：∵2b=a+c，x2=ab，y2=bc.∴x2+y2=(a+c)b=2b2，故x2、b2、y2成等差数列。9、取dqa1即可，其中12aaq，12bbd10、证明：由计算可知，21,aa不是数列}{nb中的项。∵3a＝27＝4×6＋3，∴271d是数列}{nb中的第6项。设kka3是数列}{nb中的第m项，则),,(343Nmkmk∵,1)23(4)34(333311mmakkk∴1ka不是数列}{nb中的项。而,3)69(4)34(939322mmakkk∴2ka是数列}{nb中的项，由以上讨论可知12735231,,,,nnadadadad，高考网∴数列}{nd的通项公式是)(31212Nnadnnn.