数学0123圆锥曲线对称题型

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资源描述

圆锥曲线之对称问题包括两种情形:①、中心对称问题:常利用中点坐标公式求解;②、轴对称问题:主要抓住以下两个条件去处理-----➊垂直,即已知点与对称点的连线与对称轴垂直;➋中点,即连结已知点和对称点的线段的中点在对称轴上1.(本小题满分14分)设,AB是椭圆22:143xyW上不关于坐标轴对称的两个点,直线AB交x轴于点M(与点,AB不重合),O为坐标原点.(I)如果点M是椭圆W的右焦点,线段MB的中点在y轴上,求直线AB的方程;(II)设N为x轴上一点,且4OMONuuuruuur,直线AN与椭圆W的另外一个交点为C,证明:点B与点C关于x轴对称.2.在平面直角坐标系xOy中,动点P到定点1(0,)4F的距离比点P到x轴的距离大14,设动点P的轨迹为曲线C,直线:1lykx交曲线C于,AB两点,M是线段AB的中点,过点M作x轴的垂线交曲线C于点N.(Ⅰ)求曲线C的方程;(Ⅱ)证明:曲线C在点N处的切线与AB平行;(Ⅲ)若曲线C上存在关于直线l对称的两点,求k的取值范围.解析1.(本小题满分14分)(Ⅰ)解:椭圆W的右焦点为(1,0)M,………………1分因为线段MB的中点在y轴上,所以点B的横坐标为1,因为点B在椭圆W上,将1x代入椭圆W的方程,得点B的坐标为3(1,)2.………………3分所以直线AB(即MB)的方程为3430xy或3430xy.……………5分(Ⅱ)证明:设点B关于x轴的对称点为1B(在椭圆W上),要证点B与点C关于x轴对称,只要证点1B与点C重合,.又因为直线AN与椭圆W的交点为C(与点A不重合),所以只要证明点A,N,1B三点共线.………………7分以下给出证明:由题意,设直线AB的方程为(0)ykxmk,11(,)Axy,22(,)Bxy,则122(,)Bxy.由223412,,xyykxm得222(34)84120kxkmxm,………………9分所以222(8)4(34)(412)0kmkm,122834kmxxk,212241234mxxk.………………10分在ykxm中,令0y,得点M的坐标为(,0)mk,由4OMON,得点N的坐标为4(,0)km,………………11分设直线NA,1NB的斜率分别为NAk,1NBk,则1211122121212444444()()NANBkkxyyxyyyymmkkkkkkxxxxmmmm,………12分因为21112244kkxyyxyymm21112244()()()()kkxkxmkxmxkxmkxmmm2121242()()8kkxxmxxkm2222412482()()()83434mkkmkmkkmk22323824832243234mkkmkkkkk0,………………13分所以10NANBkk,所以点A,N,1B三点共线,即点B与点C关于x轴对称.………………14分2.19.(共13分)(Ⅰ)解:由已知,动点P到定点1(0,)4F的距离与动点P到直线14y的距离相等.由抛物线定义可知,动点P的轨迹为以1(0,)4为焦点,直线14y为准线的抛物线.所以曲线C的方程为2yx.………………3分(Ⅱ)证明:设11(,)Axy,22(,)Bxy.由2,1,yxykx得210xkx.所以12xxk,121xx.设00(,)Mxy,则02kx.因为MNx轴,所以N点的横坐标为2k.由2yx,可得2yx所以当2kx时,yk.所以曲线C在点N处的切线斜率为k,与直线AB平行.…………8分(Ⅲ)解:由已知,0k.设直线l的垂线为l:1yxbk.代入2yx,可得210xxbk(*)若存在两点3344(,),(,)DxyExy关于直线l对称,则34122xxk,342122yybk又3434(,)22xxyy在l上,所以211()122bkkk,21122bk.由方程(*)有两个不等实根所以21()40bk,即221220kk所以212k,解得22k或22k.………………13分

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