数学0130定值定点问题

（1）题型一：定值定点题型解题思路：这类问题通常有两种处理方法：①、第一种方法：是从特殊入手，通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，再证明这个点（值）与变量无关；②、第二种方法：是直接推理、计算；并在计算的过程中消去变量，从而得到定点（定值）。一般的解题思路是对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决。基本思想是函数思想，可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系等不受变量所影响的一个值，就是要求的定值．具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去变量即得定值．1.（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab经过点3(1,)2，离心率为32．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线(1)(0)ykxk与椭圆C交于,AB两点，点M是椭圆C的右顶点．直线AM与直线BM分别与y轴交于点,PQ，试问以线段PQ为直径的圆是否过x轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．2.（本小题共13分）已知椭圆2222:1xyCab(0)ab的两个焦点分别为1F，2F，离心率为12，过1F的直线l与椭圆C交于M，N两点，且△2MNF的周长为8．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过原点O的两条互相垂直的射线与椭圆C分别交于A，B两点，证明：点O到直线AB的距离为定值，并求出这个定值．1.解：（Ⅰ）由题意得223=21314caab，解得=2a，1b．所以椭圆C的方程是2214xy．…………………………4分（Ⅱ）以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点．由22(1)14ykxxy得2222(14)8440kxkxk．设1122(,),(,)AxyBxy，则有2122814kxxk，21224414kxxk．又因为点M是椭圆C的右顶点，所以点(2,0)M．由题意可知直线AM的方程为11(2)2yyxx，故点112(0,)2yPx．直线BM的方程为22(2)2yyxx，故点222(0,)2yQx．若以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点0(,0)Nx，则等价于0PNQNuuuruuur恒成立．又因为1012(,)2yPNxxuuur，2022(,)2yQNxxuuur，所以221212001212224022(2)(2)yyyyPNQNxxxxxxuuuruuur恒成立．又因为121212(2)(2)2()4xxxxxx2222448241414kkkk22414kk，212121212(1)(1)[()1]yykxkxkxxxx22222448(1)1414kkkkk22314kk，所以2222212000212212414304(2)(2)14kyykxxxkxxk．解得03x．故以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点(3,0)．…………………………14分2.解：（I）由题意知，48a，所以2a．因为12e所以222222314baceaa，所以23b．所以椭圆C的方程为22143xy．（II）由题意，当直线AB的斜率不存在，此时可设00(,)Axx，00(,)Bxx．又A，B两点在椭圆C上，所以2200143xx，20127x．所以点O到直线AB的距离1222177d．当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxm．由22,143ykxmxy消去y得222(34)84120kxkmxm．由已知0．设11(,)Axy，22(,)Bxy．所以122834kmxxk，212241234mxxk．因为OAOB，所以12120xxyy．所以1212()()0xxkxmkxm．即221212(1)()0kxxkmxxm．所以22222224128(1)03434mkmkmkk．整理得)1(12722km，满足0．所以点O到直线AB的距离2||12221771mdk为定值．