数学1219立体几何综合题

QBODCPA1．已知点,EF分别是正方体1111ABCDABCD的棱1,ABAA的中点，点,MN分别是线段1DE与1CF上的点，则满足与平面ABCD平行的直线MN有（）．A．0条B．1条C．2条D．无数条2.如图，在三棱锥ABCD中，2BCDCABAD，2BD，平面ABD平面BCD，O为BD中点，点P，Q分别为线段AO，BC上的动点（不含端点），且APCQ，则三棱锥PQCO体积的最大值为________．3.如图，在四棱锥SABCD中，SB底面ABCD．底面ABCD为梯形，ABAD，AB∥CD，1,3ABAD，2CD．若点E是线段AD上的动点，则满足90SEC的点E的个数是．4．如图，设P为正四面体ABCD表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M，如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有（）．A．4个B．6个C．10个D．14个5.已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且1AA平面ABCD，P为1AA上动点，过BD且垂直于PC的平面交PC于E，那么异面直线PC与BD所成的角的度数为，当三棱锥EBCD的体积取得最大值时，四棱锥PABCD的高PA的长BADC.PFED1C1B1A1DCBABCDESA为．1．【答案】D【解析】解：建立如图Cxyz的空间直角坐标系，设正方体的棱长为a，其中平面ABCD的法向量为10,0,CCauuur，当点11,,Mxyz，点22,,,,2aNxyzza时，1212,,0MNxxyyuuur，此时10CCMNuuuruuur，即MN∥平面ABCD，而这样的点有无数个．故选D．2．【答案】248【解析】解：,ABADO为BD的中点，AOBD，又,平面平面ABDBCDQAOBCD,即POOCQ，设APCQx，211122212(1)(1)()33221212248PQCOOCQxxVSPOxxxx故答案为248．3．【答案】2【解析】解：如图建立空间直角坐标系，设SBa，(03)AEbb则(0,0,)Sa，(3,1,0)C，(,1,0)Eb所以(,1,)ESbauur，(3,2,0)ECbuuur因为90SEC，2320ESECbbuuruuur，解得1b或2．故答案为2．zyxFED1C1B1A1DCBA4．【答案】C【解析】解：若集合M中有且只有2个元素，由点P到四个顶点的距离有两个值．当点P位于正四面体四个面的几何中心时，其到这个面的三个顶点距离相等且不等于到平面外的另一个顶点的距离，符合此条件的点有4个；当点P位于正四面体每条棱的中点时，其到这条棱的两个顶点距离相等，到两外两个点距离相等，并且这两个距离不等，所以满足条件的点有6个；故共有10个点符合条件．故答案选C．【答案】90，2【解析】连接,BEDE因为PC平面BDE，所以PCBD故异面直线PC与BD所成的角为90；连接AC，交BD于O，连接OE，过E作EHAC，垂足为H，∵1AA平面ABCD，BD平面ABCD∴1AABD，又BDAC，∴BD平面PAC又EH平面PAC∴EHBD又BDACOI∴EH平面ABCD，又OEPC在RtPAC△中，22PCx，22OC设PAx2222222cossin22242222xxxEHCCxxxx，当且仅当2x时，取“=”．此时，三棱锥EBCD的体积取得最大值11221132424．故高PA的长为2．