数学1226立体几何大题

ABA1B1DCED1C1立体几何大题1．（本小题满分14分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D为AC中点，AEBD于E，延长AE交BC于F，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，如图2所示．（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCD；（Ⅱ）求二面角A–DC–B的余弦值．（Ⅲ）在线段AF上是否存在点M使得//EM平面ADC？若存在，请指明点M的位置；若不存在，请说明理由．2．（本小题满分14分）如图，在四棱柱中，底面和侧面都是矩形，是的中点，，．（Ⅰ）求证：1BCDE；（Ⅱ）求证：//平面；（Ⅲ）若平面11BCCB与平面1BED所成的锐二面角的大小为π3，求线段1DE的长度．1111ABCDABCDABCD11BCCBECD1DECD22ABBC1BC1BEDFEDABCEBCADF1图图23（本小题满分14分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD底面ABCD，,EF分别为PA,BD中点，2PAPDAD．（I）求证：//EF平面PBC;（II）求二面角EDFA的余弦值；（III）在棱PC上是否存在一点G,使GF平面EDF?若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由．4．（本小题满分14分）如图，在三棱锥PABC中，PA底面,,ABCACBCH为PC的中点，M为AH的中点，2,1PAACBC（I）求证：AH面PBC；（II）求PM与平面AHB所成角的正弦值（III）设点N在线段PB上，且,PNMNPB∥平面ABC，求实数的值．1．（Ⅰ）因为平面ABD平面BCD，交线为BD，又在中，AEBD于E，AE平面ABD所以AE平面BCD．————————————————3分（Ⅱ）由（Ⅰ）结论AE平面BCD可得AEEF．由题意可知EFBD，又AEBD．如图，以E为坐标原点，分别以,,EFEDEA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Exyz——4分不妨设2ABBDDCAD，则1BEED．由图1条件计算得，3AE，23BC，33BF则3(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),(0,0,3),(,0,0),(3,2,0)3EDBAFC———————5分(3,1,0),(0,1,3)DCAD．由AE平面BCD可知平面DCB的法向量EA．————————————————6分设平面ADC的法向量为(,,)xyzn，则0,0.DCADnn即30,30.xyyz令1z，则3,1yx，所以(1,3,1)n．—————————————————8分平面DCB的法向量为EA所以5cos,5||||EAEAEAnnn，所以二面角ADCB的余弦值为55—————————————9分（Ⅲ）设AMAF，其中[0,1]．yzxEBCA1DF由于3(,0,3)3AF，所以3(,0,3)3AMAF，其中[0,1]————————————————10分所以3,0,(1)33EMEAAM————————————11分由0EMn，即3303-(1-）———————————12分解得3=(0,1)4．——————————————13分所以在线段AF上存在点M使EMADC∥平面，且34AMAF．———————14分2．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为底面ABCD和侧面11BCCB是矩形，所以BCCD，1BCCC，又因为1CDCCCI，所以平面，………………………………2分因为1DE平面，所以1BCDE．………………………………4分（Ⅱ）证明：因为1111//,BBDDBBDD，所以四边形11DDBB是平行四边形．连接1DB交1DB于点F，连接EF，则F为1DB的中点．在1BCD中，因为DECE，1DFBF，所以1//EFBC．………………………………6分BC11DCCD11DCCDABA1B1DCED1C1zyxFG又因为1BC平面1BED，EF平面1BED，所以1//BC平面1BED．………………………………8分（Ⅲ）解：由（Ⅰ）可知1BCDE，又因为，，所以1DE平面ABCD．………………………………9分设G为AB的中点，以E为原点，EG，EC，1ED所在直线分别为x轴，y轴，z轴如图建立空间直角坐标系，设1DEa，则11(0,0,0),(1,1,0),(0,0,),(0,1,0),(1,2,),(1,0,0)EBDaCBaG．设平面1BED法向量为(,,)xyzn，因为1(1,1,0),(0,0,)EBEDauuruuur，由10,0,EBEDuuruuurnn得0,0.xyz令1x，得(1,1,0)n．……………………………11分设平面11BCCB法向量为111(,,)xyzm，因为1(1,0,0),(1,1,)CBCBauuruuur，由10,0,CBCBuuruuurmm得11110,0.xxyaz令，得．……………………………12分由平面11BCCB与平面1BED所成的锐二面角的大小为π3，得2||π|cos,|cos321aamnmnmn，………………………13分解得．……………………………14分1DECDBCCDC11z(0,,1)am1a3．（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）如图，连结AC．因为底面ABCD是正方形，所以AC与BD互相平分．又因为F是BD中点，所以F是AC中点．在△PAC中，E是AP中点，F是AC中点，所以EF∥PC．又因为EF平面PBC，PC平面BCP，所以EF∥平面BCP．……………4分（Ⅱ）取AD中点O．在△PAD中，因为PAPD，所以POAD．因为面PAD底面ABCD，且面PADI面=ABCDAD，所以PO面ABCD．因为OF平面ABCD所以POOF．又因为F是AC中点，所以OFAD．如图，以O为原点，,,OAOFOP分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系．因为2PAPDAD，所以3OP，则(0,0,0)O，(1,0,0)A，(1,2,0)B，(1,2,0)C，(1,0,0)D，(0,0,3)P，13(,0,)22E，(0,1,0)F．于是(0,2,0)ABuuur，33(,0,)22DEuuur，(1,1,0)DFuuur．因为OP面ABCD，所以(0,0,3)OPuuur是平面FAD的一个法向量．设平面EFD的一个法向量是000=(,,)xyzn．因为0,0,DFDEuuuruuurnn所以00000,330,22xyxz即0000,3.yxzx令01x则=(1,1,3)n．所以315cos,535OPOPOPuuuruuuruuurnnn．OxyzFABCDPEEPDCBAF由图可知，二面角E-DF-A为锐角，所以二面角E-DF-A的余弦值为155．…10分（Ⅲ）假设在棱CP上存在一点G，使GF面EDF．设111G(,,)xyz，则111FG=(,1,)xyzuuur．由（Ⅱ）可知平面EDF的一个法向量是=(1,1,3)n．因为GF面EDF，所以FG=uuurn．于是，111,1,3xyz，即111,1,3xyz．又因为点G在棱CP上，所以GCuuur与PCuur共线．因为PC(1,2,3)uur，111CG(+1,2,)xyzuuur，所以11112123xyz==．所以113123==，无解．故在棱CP上不存在一点G，使GF面EDF成立．……………14分4．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为PA底面ABC，BC底面ABC，所以PABC，………………1分又因为ACBC，PAACAI，所以BC平面PAC，………………2分又因为AH平面PAC，所以BCAH．………………3分因为PAAC，H是PC中点，所以AHPC，又因为PCBCCI，所以AH平面PBC．………………5分（Ⅱ）解：在平面ABC中，过点A作//ADBC因为BC平面PAC，所以AD平面PAC，由PA底面ABC，得PA，AC，AD两两垂直，所以以A为原点，AD，AC，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A，(0,0,2)P，(1,2,0)B，(0,2,0)C，(0,1,1)H，11(0,,)22M．………………6分设平面AHB的法向量为(,,)xyzn，因为(0,1,1)AHuuur，(1,2,0)ABuuur，由00AHABnnuuuruuur得020yzxy令1z，得(2,1,1)n．………………8分设PM与平面AHB成角为，因为13(0,,)22PMuuur，所以1320(1)1()22sincos,562PMPMPMnnn即215sin15．………………10分（Ⅲ）解：因为(1,2,2)PBuur，PNPBuuuruur，所以(,2,2)PNuuur，又因为13(0,,)22PM，所以13(,2,2)22MNPNPM．………………12分因为//MN平面ABC，平面ABC的法向量(0,0,2)APuuur，所以340MNAPuuuruuur，解得34．………………14分ABCPHMNzxyD