数学12应用举例同步练习高中数学练习试题

第1页共10页第1题.如图，一艘船以32.2nmile/h的速度向正北航行．在Ａ处看灯塔Ｓ在船的北偏东20的方向，30min后航行到Ｂ处，在Ｂ处看灯塔在船的北偏东65的方向，已知距离此灯塔6.5nmile以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？答案：在ABS△中，32.20.516.1ABnmile，115ABSþ，根据正弦定理，sinsin6520ASABABS，sinsin216.1sin1152sin6520ABBASABABS，S到直线AB的距离是sin2016.1sin1152sin207.06dAS（cm）．所以这艘船可以继续沿正北方向航行．A南北西东65B20S第2页共10页第2题.如图，在山脚A测得出山顶P的仰角为a，沿倾斜角为的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为，求证：山高sinsinsin-aaha．答案：在ABP△中，180+ABP，180-180-180+=-BPAABP．在ABP△中，根据正弦定理，sinsinsin-sin180+αsin-sin-APABABPAPBAPAP所以山高为sinsin-sinsin-hAP．ＡＱαβaBγＣＰ第3页共10页第3题.测山上石油钻井的井架BC的高，从山脚A测得65.3ACm，塔顶B的仰角是2525．已知山坡的倾斜角是1738，求井架的高BC．答案：在ABC△中，65.3ACm，=25251738747BAC，90=9017387222ABC，根据正弦定理，sinsinACBCABCBACsin65.3sin7479.3msinsin7222ACBACBCABC井架的高约为9.3m．(6739)第4题.如图，货轮在海上以35nmile/h的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为148的方向航行．为了确定船位，在B点观察灯塔A的方位角是126，航行半小时后到达Ｃ点，观察灯塔A的方位角是78．求货轮到达Ｃ点时与灯塔A的距离ＡβαDＢＣC78126BA第4页共10页（精确到１nmile）．答案：在ABC△中，BC＝350.517.5nmile，14812612ABC，78180148110ACB，1801101258BAC，根据正弦定理，sinsinACBCABCBAC，sin17.5sin124.29sinsin58BCABCACBAC（nmile）．货轮到达Ｃ点时与灯塔的距离是约4.29nmile．第5题.轮船A和轮船B在中午12时离开海港C，两艘轮船的航行方向之间的夹角为120，轮船A的航行速度是25nmile/h，轮船B的航行速度是15nmile/h，下午2时两船之间的距离是多少？答案：70nmile．第6题.如图，已知一艘船从30nmile/h的速度往北偏东10的A岛行驶，计划到达A岛后停留10min后继续驶往B岛，B岛在A岛的北偏西60的方向上．船到达Ｃ处时是上午10时整，此时测得B岛在北偏西30的方向，经过20min到达Ｄ处，测得B岛在北偏西45的方向，如果一切正常的话，此船何时能到达B岛？答案：在BCD△中，301040,BCD30304560BCA20min第5页共10页1801804510125BDCADB，130103CD（nmile），根据正弦定理，sinsinCDBDCBDBCD，10sin40sin18040125BD，10sin40sin15BD．在ABD△中，451055ADB，1806010110BAD，1801105515ABD．根据正弦定理，sinsinsinADBDABABDBADADB，就是sin15sin110sin55ADBDAB，sin1510sin406.84sin70sin110BDAD（nmile）．sin5510sin40sin5521.65sin110sin15sin70BDAB(nmile)．如果这一切正常，此船从Ｃ开始到Ｂ所需要的时间为：6.8421.65206010306086.983030ADAB（min）即约１小时26分59秒．所以此船约在11时27分到达Ｂ岛．第7题.一架飞机在海拔8000m的高度飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是2739和，计算这个海岛的宽度．8000m2739PQ第6页共10页答案：约5821.71m．第8题.一架飞机从A地飞到B到，两地相距700km．飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞后，就沿与原来的飞行方向成21角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成35夹角的方向继续飞行直到终点．这样飞机的飞行路程比原来路程700km远了多少？答案：在ABC△中，700ABkm，1802135124ACB，根据正弦定理，700sin124sin35sin21ACBC，700sin35sin124AC，700sin21sin124BC，700sin35700sin21786.89sin124sin124ACBC（km），所以路程比原来远了约86.89km．第9题.为测量某塔的高度，在A，B两点进行测量的数据如图所示，求塔的高度．A700km21BC35第7页共10页答案：在21.418.62.8ABTATB△中，，9018.6ABT，15AB（m）．根据正弦定理，sin2.8cos18.6ABAT，15cos18.6sin2.8AT．塔的高度为15cos18.6tan21.4tan21.4114.05sin2.8AT（m）．第10题.A，B两地相距2558m，从A，B两处发出的两束探照灯光照射在上方一架飞机的机身上（如图），飞机离两个探照灯的距离是多少？飞机的高度是多少？答案：飞机离A处控照灯的距离是4801.53m，飞机离B处探照灯的距离是4704.21m，飞机的高度是约4574.23m．第11题.一架飞以326km/h的速度，沿北偏东75的航向从城市A出发向城市B飞行，18minA72.376.5B第8页共10页以后，飞机由于天气原因按命令改飞另一个城市C，问收到命令时飞机应该沿什么航向飞行，此时离城市C的距离是多少？答案：AE=3261897.860km，在ACD△中，根据余弦定理：222cos66ACADCDADCD2257110257110cos66101.235根据正弦定理：sinsinADACACDADC，sin57sin66sin0.5144101.235ADADCACDAC，30.96ACD，13330.96102.04ACB．在ABC△中，根据余弦定理：222cosABACBCACBCACB22101.2352042101.235204cos102.04245.93，222cos2ABACBCBACABAC222245.93101.2352042245.93101.2350.5847，54.21BAC．在ACE△中，根据余弦定理：222cosCEACAEACAEEAC22101.23597.82101.23597.80.548790.75，222cos2AEECACAECAEEC．第9页共10页22297.890.75101.2350.4254297.890.75，64.82AEC，180180757564.8210.18AEC．所以，飞机应该以南偏西10.18的方向飞行，飞行距离约90.75km．第12题.飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔20250m，速度为1000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为1830，经过150s后又看到山顶的俯角为81，求山顶的海拔高度（精确到1m）．答案：飞行在150秒内飞行的距离是150100010003600dm，根据正弦定理，sin18.5sin8118.5dx，这里x是飞机看到山顶的俯角为81时飞机与山顶的距离．飞机与山顶的海拔的差是：sin18.5tan81tan8114721.64sin8118.5dx(m)，CDBAE1830þ'81þ第10页共10页山顶的海拔是2025014721.645528m．第13题.一个人在建筑物的正西A点，测得建筑物顶的仰角是，这个人再从A点向南走到B点，再测得建筑物顶的仰角是，设A，B间的距离是a．证明：建筑物的高是sinsinsinsina．答案：设建筑物的同度是h，建筑物的底部是C，则tantanhhACBC，．ABC△是直角三角形，BC是斜边，所以222tantanbha，222211tantanah，222222tantantantanah2222222sinsinsincoscossina222sinsinsinsina．所以，hsinsinsinsina．ABDCah