数学13空间几何体的表面积与体积同步练习高中数学练习试题

第1页共13页柱体、锥体、台体的表面积一、选择题1．正四棱柱的对角线长是9cm，全面积是144cm2，则满足这些条件的正四棱柱的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．无数个2．三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝AC，且侧面A1ABB1与侧面A1ACCl的面积相等，则∠BB1C1等于（）A．45°B．60°C．90°D．120°3．边长为5cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从正点沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是（）A．10cmB．52cmC．512cmD．4252cm4．中心角为43π，面积为B的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A，则A∶B等于（）A．11∶8B．3∶8C．8∶3D．13∶85．正六棱台的上、下底面的边长分别为a、b（ab），侧面和底面所成的二面角为60°，则它的侧面积是（）A．33（b2－a2）B．23（b2－a2）C．3（b2－a2）D．23（b2－a2）6．过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥的侧面分成的三部分的面积之比为（）A．1∶2∶3B．1∶3∶5C．1∶2∶4D．1∶3∶97．若圆台的上、下底面半径的比为3∶5，则它的中截面分圆台上、下两部分面积之比为（）A．3∶5B．9∶25C．5∶41D．7∶98．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）A．221B．421C．21D．2419．已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H，设四面体EFGH的表面积为T，则ST等于（）A．91B．94C．41D．3110．一个斜三棱柱，底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，侧棱与底面三角形两边所成的角都是60°，则这个斜三棱柱的侧面积是（）A．40B．)31(20C．)31(30D．303二、填空题11．长方体的高为h，底面面积是M，过不相邻两侧棱的截面面积是N，则长方体的侧第2页共13页面积是______．12．正四棱台上、下底面的边长为b、a（a＞b）且侧面积等于两底面面积之和，则棱台的高是______．13．圆锥的高是10cm，侧面展开图是半圆，此圆锥的侧面积是_____；轴截面等腰三角形的顶角为______．14．圆台的母线长是3cm，侧面展开后所得扇环的圆心角为180°，侧面积为10πcm2，则圆台的高为_____；上下底面半径为_______．三、解答题15．已知正三棱台的侧面和下底面所成的二面角为60°，棱台下底面的边长为a，侧面积为S，求棱台上底面的边长．16．圆锥的底面半径为5cm，高为12cm，当它的内接圆柱的底面半径为何值时，圆锥的内接圆柱全面积有最大值？最大值是多少?17．圆锥底面半径为r，母线长是底面半径的3倍，在底面圆周上有一点A，求一个动点P自A出发在侧面上绕一周到A点的最短路程．第3页共13页参考答案一、选择题1．C设正四棱柱的底面边长为a，高为c，由题意2a2＋c2＝81①2a2＋4ac2＝144即a2＋2ac2＝72②①×8－②×9得7a2－18ac＋8c2＝0即（7a－4c）（a－2c）＝0，因此7a－4c＝0或a＝2c，由此可见由①②构成方程组有两组满足条件的解，故正确答案选C．2．C3．D4．A5．A6．B7．D8．A设底面圆半径为r，母线即高为h．∴h＝2πr．∴侧全SS＝rhrhr2222＋＝hhr＋＝rrr22＋＝221＋．∴应选A．9．A10．B可计算出直截面的周长为5＋35，则S侧＝4（5＋35）＝20（1＋3）．另解：如图，若∠A1AC＝∠A1AB＝60°，则可证明□BB1C1C为矩形，因此，S侧＝2S□BBAA11＋CCBB11矩形S＝2×4×5×sin60°＋4×5＝20（1＋3）．二、填空题11．2222MhN＋．设长方体的长和宽分别为a，b则有a·b＝M，22ba＋·h＝N，2（a＋b）h＝22）＋（ba·h＝MhN2222＋·h＝2222MhN＋．12．baab＋13．3200；60°14．233cm；211cm，229cm三、解答题．15．设O，O1分别为下，上底面中心，连接OO1，则OO1⊥平面ABC，上底面边长为x，连接AO，A1O1并延长交BC，B1C1分别于D、D1两点．则AD⊥BC，连接DD1，则DD1⊥BC，∠ADD1为二面角A－BC－D1的平面角，即∠ADD1＝60°，过D1作D1E∥OO1交AD于E，则D1E⊥平面ABC．在正△ABC，△A1B1C1中，AD＝a23，A1D1＝x23．在Rt△D1ED中，ED＝OD－OE＝31（AD－A1D1）＝63（a－x）．则D1D＝2ED＝33（a－x），由题意S＝3·233）－（）＋（xaax．第4页共13页即S＝23（a2－x2）．解得x＝Sa3322－．16．如图SAB是圆锥的轴截面，其中SO＝12，OB＝5．设圆锥内接圆柱底面半径为O1C＝x，由△SO1C∽△SOB，则COSO11＝OBSO，SO1＝OBSO·O1C＝x512，∴OO1＝SO－SO1＝12－x512，则圆柱的全面积S＝S侧＋2S底＝2π（12－x512）x＋2πx2＝2π（12x－257x）．当x＝730cm时，S取到最大值7360cm2．17．如图扇形SAA′为圆锥的侧面展开图，AA′即为所求的最知路程，由已知SA＝SA′＝3r，θ＝SAr360°＝120°，在等腰△SAA′中可求得AA′＝r33．第5页共13页柱体、锥体与台体的体积一、选择题1．若正方体的全面积增为原来的2倍，那么它的体积增为原来的（）A．2倍B．4倍C．2倍D．22倍2．一个长、宽、高分别为a、b、c长方体的体积是8cm2，它的全面积是32cm2，且满足b2＝ac，那么这个长方体棱长的和是（）A、28cmB．32cmC．36cmD．40cm3．正六棱台的两底面的边长分别为a和2a，高为a，则它的体积为（）A．32321aB．3233aC．337aD．3237a4．若球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径为（）A．1B．3C．2D．215．一个球的外切正方体的全面积的数值等于6cm2，则此球的体积为（）A．334cmB．386cmC．361cmD．366cm6．正六棱锥的底面边长为a，体积为323a，那么侧棱与底面所成的角为（）A．6B．4C．3D．1257．正四棱锥的底面面积为Q，侧面积为S，则它的体积为（）A、SQ31B．)(2122QSQC、)(2122QSSD、)(6122QSQ8．棱台上、下底面面积之比为1∶9，则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是（）A．1∶7B．2∶7C．7∶19D．3∶169．正方体、等边圆柱与球它们的体积相等，它们的表面积分别为S1、S2、S3，下面关系中成立的是（）A．S3＞S2＞S1B．S1＞S3＞S2C．S1＞S2＞S3D．S2＞Sl＞S310．沿棱长为1的正方体的交于一点的三条棱的中点作一个截面，截得一个三棱锥，那么截得的三棱锥的体积与剩下部分的体积之比是（）A．1∶5B．1∶23C．1∶11D．1∶47二、填空题11．底面边长和侧棱长都是a的正三棱锥的体积是_______．12．将4×6的矩形铁皮作为圆柱的侧面卷成一个圆柱，则圆柱的最大体积是_______．13．半径为1的球的内接正方体的体积是________；外切正方体的体积是_______．14．已知正三棱台上、下底面边长分别为2、4，且侧棱与底面所成角是45°，那么这个正三棱台的体积等于_______．三、解答题15．三棱锥的五条棱长都是5，另一条棱长是6，求它的体积．16．两底面边长分别是15cm和10cm的正三棱台，它的侧面积等于两底面积的和，求第6页共13页它的体积．17．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h正好相同，求h．18．如图所示，已知正方体ABCD—A1B1ClDl的棱长为a，E为棱AD的中点，求点A1到平面BED1的距离．第7页共13页参考答案一、选择题1．D2．B解：由已知③＝②＝＋＋①＝acbcabcabcba2168··③代入①得b3＝8，b＝2，ac＝4，代入②a＋c＝6．∴长方体棱长的和为4（a＋b＋c）＝4×8＝32（cm2）．3．D4．B5．C6．B7．D设正四棱锥的底面边长和高分别为a，h，斜高为h′，则h′＝222）＋（ah，S＝21（4a）h′＝2a224ah＋解得h＝22244aaS－＝442QQS－＝QQS2221－．V＝31h·Q＝31（QQS2221－）Q＝）－（2261QSQ．8．C9．B10．D由E、F、G分别为BB1，B1C1，B1A1的中点，可证明平面EFG∥平面BC1A1，因此1111ABCBEFGBVV－－＝31）（BCEF＝（21）3＝81．即EFGBV－1＝81111ABCBV－＝81·31ADABCBV111－＝81（31·211111DCBAABCDV－）＝4811111DCBAABCDV－，EFGBDCBAABCDEFGBVVV－－－－111111＝471．二、填空题．11．3122a12．3613．938；814．31415．三棱锥A－BCD中，AB＝6，设E为AB的中点，连结CE，DE，则CE⊥AB，DE⊥AB．第8页共13页在直角△AED中，DE＝22AEAD－＝2235－＝4．同理CE＝4，F为CD中点，连接EF，则EF⊥CD，在Rt△DFE中，EF＝2225）－（DE＝22254）－（＝239．∴S△CED＝4395．VA－BCD＝VA－ECD＋VB－ECD＝31AE·S△CED＋31BE·S△CED＝31（AE＋BE）S△CDE＝31×6×4395＝3925．16．设正三棱台的高为h，则斜高h′＝22101563）］－（＋［h＝12252＋h，由已知212251531032＋）＋（h＝43（152＋102），解得h＝32．因此V＝31·32（43·102＋43·152＋2215·1043）＝2475（cm3）．别解：设上、下底面面积分别是S1，S2（S1＜S2），侧面与底面成二面角为α，由已知，S侧＝S1＋S2①．又S侧cosα＝S2－S1②，②÷①，cosα＝2112SSSS＋－＝22221043154310431543＋－＝135．然后再求棱台的高和体积．17．设圆锥形容器的液面的半径为R，则液体的体积为31πR2h，圆柱形容器内的液体体积为π（2a）2h．根据题意，有31πR2h＝π（2a）2h，解得R＝a23．第9页共13页再根据圆锥轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形，得aa23＝ah，所以h＝a23．18．解：EDAS11＝21A1D1·AA1＝22a．D1B＝3a，D1E＝BE＝22ABAE＋＝2221aa＋）（＝a25．等腰△EBD1的高为2122）－（BDBE＝222325）－（）（aa＝a22．1BEDS＝21（a3）（a22）＝246a．设A1到平面BED1的距离为h，而11BEDAV－＝EDABV11－，即131BEDS·h＝EDAS1131·AB．∴31·246a·h＝31·22a·a，解得h＝a631．第10页共13页球的体积和表面积一、选择题1．若球的大圆面积扩大为原来的4倍，则球的表面积比原来增加（）A．2倍B．3倍C．4倍D，8倍2．若球的大圆周长是C，则这个球的表面积是（）A．42cB．42cC．2cD．2πc23．已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝2，则球面面积是（）A．916B．38C．4πD．9644、球的大圆面积增大为原来的4倍，那么球的体积增大为原来的（）A．4倍B．8倍C．16倍D．32倍5．三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球的体积和的（）A、1倍B．2倍C．3倍D．4倍6．棱长为1的正方体内有一个球与正方体的12条棱都相切，则球的体积为（）A．4πB．4C．