第-1-页共3页第3课时等比数列1.等比数列的定义:)()(=q(q为不等于零的常数).2.等比数列的通项公式:⑴an=a1qn-1⑵an=amqn-m3.等比数列的前n项和公式:Sn=)1()1(qq4.等比中项:如果a,b,c成等比数列,那么b叫做a与c的等比中项,即b2=(或b=).5.等比数列{an}的几个重要性质:⑴m,n,p,q∈N*,若m+n=p+q,则.⑵Sn是等比数列{an}的前n项和且Sn≠0,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成数列.⑶若等比数列{an}的前n项和Sn满足{Sn}是等差数列,则{an}的公比q=.例1.已知等比数列{an}中,a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求项数n和公比q的值.解:∵{an}是等比数列,∴a1·an=a2·an-1,∴1286611nnaaaa,解得6421naa或2641naa若a1=2,an=64,则2·qn-1=64∴qn=32q由Sn=1261)321(21)1(1qqqqan,解得q=2,于是n=6若a1=64,an=2,则64·qn-1=2∴qn=q321由Sn=1261)3211(641)1(1qqqqan解得q=21,n=6变式训练1.已知等比数列{an}中,a1·a9=64,a3+a7=20,则a11=.解:64或1由20647391aaaa20647373aaaa41673aa或16473aa∴q2=21或q2=2,∴a11=a7q2,∴a11=64或a11=1例2.设等比数列{an}的公比为q(q0),它的前n项和为40,前2n项和为3280,且前n项中数值最大项为27,求数列的第2n项.典型例题基础过关第-2-页共3页解:若q=1,则na1=40,2na1=3280矛盾,∴q≠1.∴32801)1(401)1(211qqaqqann两式相除得:qn=81,q=1+2a1又∵q0,∴q1,a10∴{an}是递增数列.∴an=27=a1qn-1=112181aa解得a1=1,q=3,n=4变式训练2.已知等比数列{an}前n项和Sn=2n-1,{an2}前n项和为Tn,求Tn的表达式.解:(1)∵a1+2a22=0,∴公比q=2112aa又∵S4-S2=81,将q=-21代入上式得a1=1,∴an=a1qn-1=(-21)n-1(n∈N*)(2)an≥161(-21)n-1≥(21)4n≤5∴原不等式的解为n=1或n=3或n=5.例3.有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数.解:设这四个数为a-d,a,a+d,ada2)(依题意有:1216)(2daaadada解得:44da或69da∴这四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.变式训练3.设nS是等差数列na的前n项和,6636,324,144(6)nnSSSn,则n等于()A.15B.16C.17D.18答案:D。解析:由6324,144nnSS得12345180nnnnnnaaaaaa,再由161()326,36,324,182nnnnaaSaaSn。例4.已知函数f(x)=(x-1)2,数列{an}是公差为d的等差数列,数列{bn}是公比为q的等比数列(q≠1),若a1=f(d-1),a3=f(d+1),b1=f(q-1),b3=f(q+1),(1)求数列{an},{bn}的通项公式;第-3-页共3页(2)设数列{cn}对任意的自然数n均有:12211)1(nnnanbcbcbc,求数列{cn}前n项和Sn.解:(1)a1=(d-2)2,a3=d2,a3-a1=2d即d2-(d-2)2=2d,解之得d=2∴a1=0,an=2(n-1)又b1=(q-2)2,b3=q2,b3=b1q2即q2=(q-2)2q2,解之得q=3∴b1=1,bn=3n-1(2)1134,4)1(nnnnnnncnnaanbCSn=C1+C2+C3+…+Cn=4(1×3°+2×31+3×32+…+n×3n-1)设'nS1×3°+2×3´+3×32+…+n×3n-13'nS1×31+2×32+3×33+…+n×3n-2'nS1+3+32+33+…+3n-1-n×3n=2)13(1n-3n·n41332'nnnnS∴Sn=2n·3n-3n+1变式训练4.已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d0,且第二项,第五项,第十四项分别是等比数列{bn}的第二项,第三项,第四项.⑴求数列{an}与{bn}的通项公式;⑵设数列{cn}对任意正整数n,均有1332211nnnabcbcbcbc,求c1+c2+c3+…+c2007的值.解:⑴由题意得(a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2(d0)解得d=2,∴an=2n-1,bn=3n-1.⑵当n=1时,c1=3当n≥2时,∵,1nnnnaabc∴)2(32)1(31nncnn故132nnc22006200712200732323233ccc1.在等比数列的求和公式中,当公比q≠1时,适用公式Sn=qqan1)1(1,且要注意n表示项数;当q=1时,适用公式Sn=na1;若q的范围未确定时,应对q=1和q≠1讨论求和.2.在等比数列中,若公比q0且q≠1时,可以用指数函数的单调性确定数列的最大项或最小项.3.若有四个数构成的函数,前三个成等差数列,后三个成等比数列时,关键是如何巧妙地设这四个数,一般是设为x-d,x,x+d,xdx2)(再依题意列出方程求x、d即可.4.a1与q是等比数列{an}中最活跃的两个基本量.归纳小结