数学人教A版选修22自我小测14生活中的优化问题举例Word版含解析

自我小测1．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数给出：y＝－18t3－34t2＋36t－6294.则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是()A．6时B．7时C．8时D．9时2．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x＞0)，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，应生产()A．6千台B．7千台C．8千台D．9千台3．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则其高为()A．203cmB．10cmC．15cmD．2033cm4．设有一个容积V一定的铝合金盖的圆柱形铁桶，已知单位面积铝合金的价格是铁的3倍，当总造价最少时，桶高为()A．1232VπB．123V2πC．232VπD．23V2π5．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1200＋275x3，产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为()A．20B．25C．30D．456．如图所示，某厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌墙壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为__________．7．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)＝－x3900＋400x，0≤x≤390，90090，x390，则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是__________．8．将边长为1的正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S＝(梯形的周长)2梯形的面积，则S的最小值是__________．9．已知球的直径为d，求当其内接正四棱柱体积最大时，正四棱柱的高为多少？10．某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a件，通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x(0＜x＜1)，那么月平均销售量减少的百分率为x2.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y(元)．(1)写出y与x的函数关系式；(2)改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大．参考答案1．解析：y′＝－38t2－32t＋36，令y′＝0解得t＝8或t＝－12(舍)，当0＜t＜8时，y′＞0；当t＞8时，y′＜0，∴t＝8为函数的最大值点．∴t＝8时，通过该路段用时最多．答案：C2．解析：设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x＞0)，∴y′＝－6x2＋36x＝－6x(x－6)．令y′＝0，解得x＝0或x＝6，经检验知x＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点．答案：A3．解析：设圆锥的高为xcm，则底面半径为202－x2cm，其体积V＝13πx(202－x2)(0＜x＜20)，V′＝π3(400－3x2)，令V′＝0得x1＝2033，x2＝－2033(舍去)．又当0＜x＜2033时，V′＞0；2033＜x＜20时，V′＜0，∴当x＝2033cm时，V取最大值．答案：D4．解析：设圆柱形铁桶的底面半径为r，高为h，总造价为y，单位面积铁的造价为a，则V＝πr2h，y＝πr2·3a＋πr2·a＋2πrh·a＝aπ4r2＋2Vπr，则y′＝aπ8r－2Vπr2.令y′＝0，得r＝1232Vπ，h＝Vπr2＝232Vπ.答案：C5．解析：设产品单价为a元，产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，由题知k＝250000，则a2x＝250000，所以a＝500x.总利润y＝500x－275x3－1200(x＞0)，y′＝250x－225x2.由y′＝0，得x＝25，当x∈(0,25)时，y′＞0，x∈(25，＋∞)时，y′＜0，所以x＝25时，y取最大值．答案：B6．解析：要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，设场地宽为x米，则长为512x米，因此新墙壁总长度L＝2x＋512x(x＞0)，则L′＝2－512x2.令L′＝0，得x＝±16.∵x＞0，∴x＝16.当x＝16时，Lmin＝64，此时堆料场的长为51216＝32(米)．答案：32和167．解析：由题意得，总利润P(x)＝－x3900＋300x－20000，0≤x≤390，70090－100x，x390，当0≤x≤390时，P′(x)＝－x2300＋300，令P′(x)＝0，解得x＝300；当0≤x≤300时，P′(x)＞0；当300＜x＜390时，P′(x)＜0.所以当x＝300时，P(x)max＝40000，而当x＞390时，P(x)＜40000，因此当x＝300时利润最大．答案：3008．解析：设剪成的上面一块正三角形的边长为x.则S＝(3－x)234－34x2＝433·(3－x)21－x2(0＜x＜1)，S′＝433·－6x2＋20x－6(1－x2)2＝－833·(3x－1)(x－3)(1－x2)2，令S′＝0，得x＝13或x＝3(舍去)．∴x＝13是S的极小值点且是最小值点．∴Smin＝433×3－1321－19＝3233.答案：32339．解：如图所示，设正四棱柱的底面边长为x，高为h，由于x2＋x2＋h2＝d2，所以x2＝12(d2－h2)．所以球内接正四棱柱的体积为V＝x2·h＝12(d2h－h3),0＜h＜d.令V′＝12(d2－3h2)＝0，所以h＝33d.在(0，d)上，当h变化时，V′，V的变化情况如下表：h0，33d33d33d，dV′＋0－V极大值由上表知体积最大时，球内接正四棱柱的高为33d.10．解：(1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1＋x)元，月平均销售量为a(1－x2)件，则月平均利润y＝a(1－x2)·[20(1＋x)－15]元，所以y与x的函数关系式为y＝5a(1＋4x－x2－4x3)(0＜x＜1)．(2)由y′＝5a(4－2x－12x2)＝0得x1＝12，x2＝－23(舍)．当0＜x＜12时，y′＞0；12＜x＜1时y′＜0，所以函数y＝5a(1＋4x－x2－4x3)(0＜x＜1)在x＝12处取得最大值．故改进工艺后，产品的销售价为201＋12＝30(元)时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大．