数学人教A版选修22自我小测17定积分的简单应用第1课时Word版含解析

自我小测1．曲线y＝x3与直线y＝x所围封闭图形的面积S等于()A．11(x－x3)dxB．11(x3－x)dxC．210(x－x3)dxD．201(x－x3)dx2．如图，阴影部分的面积为()A．9B．92C．136D．733．已知函数y＝x2与y＝kx(k＞0)的图象所围成的封闭区域的面积为92，则k＝()A．3B．2C．1D．124．由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积S为()A．112B．14C．13D．7125．由曲线y＝x2＋2与y＝3x，x＝0所围成的平面图形的面积为()A．4B．3C．2D．16．椭圆x225＋y216＝1围成的面积是__________．7．直线x＝π4，x＝5π4与曲线y＝sinx，y＝cosx围成平面图形的面积为__________．8．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与直线y＝0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为274，则a的值为__________．9．计算由抛物线y2＝x与直线x－2y－3＝0所围成的平面图形的面积．10．求曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝t2，t∈(0,1)所围成的图形(如图阴影部分)的面积的最小值．参考答案1．解析：如图，阴影部分的面积S＝210(x－x3)dx.故选C．答案：C2．解析：由y＝x－2，y＝－x2求得两曲线交点为A(－2，－4)，B(1，－1)．结合图形可知阴影部分的面积为S＝12[－x2－(x－2)]dx＝12(－x2－x＋2)dx＝－13x3－12x2＋2x12|＝92.答案：B3．解析：由y＝x2，y＝kx，消去y得x2－kx＝0，所以x＝0或x＝k，则所求区域的面积为S＝0k(kx－x2)dx＝12kx2－13x30|k＝k36＝92，则k3＝27，解得k＝3.答案：A4．解析：作出曲线y＝x2，y＝x3的草图，所求面积即为图中阴影部分的面积．解方程组y＝x2，y＝x3，得曲线y＝x2，y＝x3交点的横坐标为x＝0及x＝1.因此，所求图形的面积为S＝10(x2－x3)dx＝13x3－14x410|＝13－14＝112.答案：A5．解析：如图，由x2＋2＝3x，得x＝1，x＝2，直线y＝3x与抛物线y＝x2＋2的交点坐标为(1,3)，(2,6)，所求的面积为S＝10(x2＋2－3x)dx＋21(3x－x2－2)dx＝13x3＋2x－32x210|＋32x2－13x3－2x21|＝1.答案：D6．解析：设椭圆在第一象限内围成图形的面积为S1，则由对称性，得椭圆面积S＝4S1.在第一象限内椭圆方程可化为y＝4525－x2，故S1＝504525－x2dx＝455025－x2dx.而5025－x2dx表示以5为半径的14圆的面积，如图．从而5025－x2dx＝14π·52＝25π4.故S1＝45×25π4＝5π，从而S＝20π.答案：20π7．解析：由图可知，图形面积S＝5π4π4(sinx－cosx)dx＝(－cosx－sinx)5π4π4|＝－cos5π4－sin5π4－－cosπ4－sinπ4＝2－(－2)＝22.答案：228．解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋b⇒f′(0)＝b⇒b＝0，令f(x)＝0⇒x＝－a(a＜0)，274＝S＝320()daxaxx＝14x4＋13ax30|a＝|a4|12⇒a＝－3.答案：－39．解法一：由y2＝x，x－2y－3＝0得抛物线与直线的交点为P(1，－1)，Q(9,3)(如图所示)，所以S＝10[x－(－x)]dx＋91x－x－32dx＝210xdx＋91x－x2＋32dx＝4332x10|[phone]xxx91|＝43＋283＝1023.解法二：抛物线和直线方程可改写为x＝y2，x＝2y＋3，则S＝31(2y＋3－y2)dy＝y2＋3y－13y331|＝1023.10．解：由定积分的性质与微积分基本定理，得S＝S1＋S2＝0t(t2－x2)dx＋1t(x2－t2)dx＝t2x－13x30|t＋13x3－t2x1|t＝t3－13t3＋13－t2－13t3＋t3＝43t3－t2＋13，t∈(0,1)，所以S′＝4t2－2t，所以t＝12或t＝0(舍去)．当t变化时，S′，S变化情况如下表：t0，121212，1S′－0＋S极小值所以当t＝12时，S最小，且Smin＝14.