数学人教A版选修22自我小测21合情推理与演绎推理第1课时Word版含解析

自我小测1．下列说法正确的是()A．合情推理就是正确的推理B．合情推理就是归纳推理C．归纳推理就是从一般到特殊的推理D．类比推理就是从特殊到特殊的推理2．在平面直角坐标系内，方程xa＋yb＝1表示在x，y轴上的截距分别为a，b的直线，拓展到空间，在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c(abc≠0)的直线方程为()A．xa＋yb＋zc＝1B．xab＋ybc＋zac＝1C．xyab＋yzbc＋zxac＝1D．ax＋by＋cz＝13．如图所示，着色的三角形的个数依次构成数列{an}的前4项，则这个数列的一个通项公式为()A．an＝3n－1B．an＝3nC．an＝3n－2nD．an＝3n－1＋2n－34．如图所示，n个连续自然数按规律排列如下：根据规律，从2004到2006的箭头方向依次为()A．→↑B．↑→C．↓→D．→↓5．在数学解题中，常会碰到形如“x＋y1－xy”的结构，这时可类比正切的和角公式．如：设a，b是非零实数，且满足asinπ5＋bcosπ5acosπ5－bsinπ5＝tan8π15，则ba＝()A．4B．15C．2D．36．设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，__________，__________，T16T12成等比数列．7．设{an}是首项为1的正数项数列，且(n＋1)an＋12－nan2＋an＋1an＝0(n∈N*)，经归纳猜想可得这个数列的通项公式为__________．8．在平面中△ABC的角C的内角平分线CE分△ABC面积所成的比S△AECS△BEC＝ACBC，将这个结论类比到空间：在三棱锥A－BCD中，平面DEC平分二面角A－CD－B且与AB交于E，则类比的结论为__________．9．已知sin230°＋sin290°＋sin2150°＝32，sin25°＋sin265°＋sin2125°＝32，通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出证明．10．在矩形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α，β，则cos2α＋cos2β＝1，在立体几何中，通过类比，给出猜想并证明．参考答案1．解析：归纳推理和类比推理统称为合情推理，合情推理得到的结论不一定正确，故选项A，B错误；因为归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，故选项C错误；类比推理就是从特殊到特殊的推理，故选项D正确．答案：D2．C3．解析：∵a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27，∴猜想an＝3n－1.答案：A4．解析：观察总结规律为：以4个数为一个周期，箭头方向重复出现．因此，2004到2006的箭头方向和0到2的箭头方向是一致的．故选C．答案：C5．解析：将已知式变形，得asinπ5＋bcosπ5acosπ5－bsinπ5＝atanπ5＋ba－btanπ5＝tanπ5＋ba1－batanπ5＝tan8π15，类比正切的和角公式，即tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ，可知只有当ba＝tanπ3＝3时，上式成立．答案：D6．解析：将等差数列中的运算类比等比数列中的运算时，加法类比于乘法，减法类比于除法，故可得类比结论为：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，T8T4，T12T8，T16T12成等比数列．答案：T8T4T12T87．解析：由首项为1，得a1＝1；当n＝1时，由2a22－1＋a2＝0，得a2＝12；当n＝2时，由3a32－2122＋12a3＝0，即6a32＋a3－1＝0，解得a3＝13；…归纳猜想该数列的通项公式为an＝1n(n∈N*)．答案：an＝1n(n∈N*)8．解析：平面中的面积类比到空间为体积，故S△AECS△BEC类比成VA－CDEVB－CDE.平面中的线段长类比到空间为面积，故ACBC类比成S△ACDS△BCD.故有VA－CDEVB－CDE＝S△ACDS△BDC.答案：VA－CDEVB－CDE＝S△ACDS△BDC9．解：通过观察可得一般性的命题为sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝32.证明如下：左边＝1－cos(2α－120°)2＋1－cos2α2＋1－cos(2α＋120°)2＝32－12[cos(2α－120°)＋cos2α＋cos(2α＋120°)]＝32－12(cos2αcos120°＋sin2αsin120°＋cos2α＋cos2αcos120°－sin2αsin120°)＝32＝右边，所以该一般性的命题成立．10．解：如图①，在矩形ABCD中，cos2α＋cos2β＝ac2＋bc2＝a2＋b2c2＝c2c2＝1.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.证明如下：如图②，cos2α＋cos2β＋cos2γ＝ml2＋nl2＋gl2＝m2＋n2＋g2l2＝l2l2＝1.