数学文科真题与解析丨2016东城高三一模真题试卷与解析

2016高三一模地址：北京市海淀区中关村大街32号和盛大厦电话：10108899北京市东城区2015-2016学年度第二学期高三综合练习（一）2016.4数学（文科）本试卷共6页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．若集合23AxxxR|，|12Bxx，则ABA．|10xxB．|13xxC．|02xxD．|03xx2．已知直线310axy与直线320xy互相垂直，则aA．3B．1C．1D．33．已知4log6a，4log0.2b，2log3c，则三个数的大小关系是A．cabB．acbC．abcD．bca4．若x，y满足0230230xxyxy≥≥≤，则2uxy的最大值为A．3B．52C．2D．325．已知数列na的前n项和1159131721143nnSn，则11SA．21B．19C．19D．216．在ABC△中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，则“ab”是“coscosaBbA”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．下面的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a，b，i的值分别为6，8，0，则输出a和i的值分别为A．0，3B．0，4C．2，3D．2，42016高三一模地址：北京市海淀区中关村大街32号和盛大厦电话：101088998．函数fx的定义域为11，，图象如图1所示，函数gx的定义域为12，，图象如图2所示，若集合|0Axfgx，|0Bxgfx，则AB中元素的个数为A．1B．2C．3D．4第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．若复数2(2i)()aaR是实数，则a．10．以抛物线24yx的焦点为圆心且过坐标原点的圆的方程为．11．如图，在正方体1111ABCDABCD中，点P是上底面1111ABCD内一动点，则三棱锥PABC的正（主）视图与侧（左）视图的面积的比值为．2016高三一模地址：北京市海淀区中关村大街32号和盛大厦电话：1010889912．已知函数2(1)10()20.xaxxfxx≥，，，⑴若((1))0ff，则实数a；⑵在⑴的条件下，若直线ym与()yfx的图象有且只有一个交点，则实数m的取值范围是．13．如图，在矩形OABC中，点E，F分别在线段AB，BC上，且满足3ABAE，3BCCF．若OBOEOF()R，，则．14．每年的三月十二号是植树节，某学校组织高中65个学生及其父母以家庭为单位参加“种一棵小树，绿一方净土”的义务植树活动，活动将65个家庭分成A，B两组，A组负责种植150棵银杏树苗，B组负责种植160棵紫薇树苗，根据往年的统计，每个家庭种植一棵银杏树苗用时2h5，种植一棵紫薇树苗用时3h5，假定A，B两组同时开始种植，若使植树活动持续时间最短，则A组的家庭数为，此时活动持续的时间为h．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15．（本小题共13分）已知函数2π()sin22cos6fxxx．（Ⅰ）求()fx的最小正周期；（Ⅱ）求()fx在区间π02，上的最大值和最小值．2016高三一模地址：北京市海淀区中关村大街32号和盛大厦电话：1010889916．（本小题共13分）已知公差为正数的等差数列na满足11a，12a，31a，41a成等比数列．（Ⅰ）求na的通项公式；（Ⅱ）若2a，5a分别是等比数列nb的第1项和第2项，求使数列1nb的前n项和99200nT的最大正整数n．17．（本小题共14分）如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，2AB，60BAD，M是PD的中点．（Ⅰ）求证：OM∥平面PAB；（Ⅱ）求证：平面PBD⊥平面PAC；（Ⅲ）当三棱锥CPBD的体积等于32时，求PA的长．2016高三一模地址：北京市海淀区中关村大街32号和盛大厦电话：1010889918．（本小题共13分）“爱心包裹”是中国扶贫基金会依托中国邮政发起的一项全民公益活动，社会各界爱心人士只需通过中国邮政网点捐购统一的爱心包裹，就可以一对一地将自己的关爱送给需要帮助的人．某高校青年志愿者协会响应号召，组织大一学生作为志愿者，开展一次爱心包裹劝募活动．将派出的志愿者分成甲、乙两个小组，分别在两个不同的场地进行劝募，每个小组各6人．爱心人士每捐购一个爱心包裹，志愿者就将送出一个钥匙扣作为纪念．以下茎叶图记录了这两个小组成员某天劝募包裹时送出钥匙扣的个数，且图中甲组的一个数据模糊不清，用x表示．已知甲组送出钥匙扣的平均数比乙组的平均数少1个．甲组乙组9808x4126810211⑴求图中x的值；⑵“爱心包裹”分为价值100元的学习包和价值200元的“学习+生活”包，在乙组劝募的爱心包裹中100元和200元的比例为3:1，若乙组送出的钥匙扣的个数即为爱心包裹的个数，求乙组全体成员劝募的爱心包裹的价值总额；⑶在甲组中任选2个志愿者，求他们送出的钥匙扣个数都多于乙组的平均数的概率．19．（本小题共13分）已知110F，和210F，是椭圆2222:1xyCab0ab的两个焦点，且点312P，在椭圆C上．⑴求椭圆C的方程；⑵直线:0lykxmm与椭圆C有且仅有一个公共点，且与x轴和y轴分别交于点MN，，当OMN△面积取最小值时，求此时直线l的方程．2016高三一模地址：北京市海淀区中关村大街32号和盛大厦电话：1010889920．（本小题共14分）已知函数2lnfxxaxaR，．⑴若fx在1x处取得极值，求a的值；⑵求fx在区间1，上的最小值；⑶在⑴的条件下，若2hxxfx，求证：当21ex时，恒有44hxxhx成立．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）（试卷为手动录入，难免存在细微差错，如您发现试卷中的问题，敬请谅解！转载请注明出处！）2016高三一模地址：北京市海淀区中关村大街32号和盛大厦电话：10108899北京市东城区2015-2016学年度第二学期高三综合练习（一）2016.4数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．B2．C3．A4．A5．D6．C7．D8．C二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．010．22(1)1xy11．112．⑴1；⑵(0)[1)，，13．3214．25；125注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．三、解答题（本大题共5小题，共80分）15．（共13分）【解析】⑴3131()sin2cos21cos2sincos212222fxxxxxxπsin216x，6分所以()fx的最小正周期πT．7分⑵因为π02x，，所以ππ7π2,666x．于是当ππ262x，即π6x时，()fx取得最大值2．当π7π266x，即π2x时，()fx取得最小值12．13分16．（共13分）【解析】⑴设数列na的公差为(0)dd，由已知可得21432(1)(1)aaa，即22(131)(121)dd．整理得22320dd，解得12d（舍去）或2d．5分所以na的通项公式为21nan，*nN．6分⑵由⑴知123ba，259ba，所以等比数列nb的公比3q．2016高三一模地址：北京市海淀区中关村大街32号和盛大厦电话：10108899于是1nb是以13为首项，以13的公比的等比数列．9分所以1113311112313nnnT11分由90200nT，得19913100n，即113100n，则满足不等式的最大正整数4n．13分17．（共14分）【解析】⑴证明：因为在PBD△中，O，M分别是BD，PD的中点，所以OMPB∥，又OM平面PAB，PB平面PAB，所以OM∥平面PAB．5分⑵证明：因为底面ABCD是菱形，所以BDAC．因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD．又ACPAA∩，所以BD平面PAC，又BD⊂平面PBD．所以平面PBD平面PAC．10分⑶解：因为底面ABCD是菱形，且2AB，60BAD．所以3BCDS△．又CPBDPBCDVV，三棱锥PBCD的高为PA．所以13332PA．解得32PA．14分2016高三一模地址：北京市海淀区中关村大街32号和盛大厦电话：1010889918．（共13分）【解析】⑴由茎叶图可知乙组送出钥匙扣的平均数为81216182121166（个）．则甲组送出钥匙扣的平均数为15个．由891410202115690x×，解得8x．4分⑵乙组送出钥匙扣的个数为96，即劝募的总包裹数为96，按照3:1的比例，价值100元的包裹有72个，价值200元的包裹有24个．故所求爱心包裹的总价值721002420012000××（元）．8分⑶乙组送出钥匙扣的平均数为16个，甲组送出钥匙扣的个数分别为8，9，14，18，20，21，若从甲组中任取两个数字，所有的基本事件为：89814818，，，，，，820821914918920921，，，，，，，，，，，，1418，，1420，，1421，，182018212021，，，，，，共15个基本事件．其中符合条件的基本事件有182018212021，，，，，，共3个基本事件．故所求概率为31155P．13分19．（共13分）【解析】⑴依题意，1c，又2233821104222a，故2a．所以23b．故所求椭圆C的方程为22143xy．4分⑵由22143xyykxm，消y得2224384120kxkmxm．由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，2222644434120kmkm，整理得2243mk．6分由条件可得0k，0mMk，，(0)Nm，．所以2111222OMNmmSOMONmkk△．①将2243mk代入①得214313422CMNkSkkk△．2016高三一模地址：北京市海淀区中关村大街32号和盛大厦电话：10108899因为0k，所以134232CDMSkk△≥，当且仅当32k，即32k时等号成立．OMNS△有最小值23．因为2243mk，所以26m，又0m，解得6m．11分故所求直线方程为362yx或362yx．13分20．（共14分）【解析】⑴解：由2()lnfxxax，定义域为(0)，，得()2afxxx．因为函数2()lnfxxax在1x处取得极值．所以(1)0f，即20a，解得2a．经检验，满足题意，所以2a．4分⑵解：由（Ⅰ）得22(