数学新人教A版选修1131变化率与导数同步练习高中数学练习试题

1人教新课标版（A）选修1-13.1变化率与导数同步练习题【基础演练】题型一：变化率问题与导数概念一般地，1212xxxfxfxf△△我们称为平均变化率，如果0x△时，xxfxxflimxflim000x0x△△△△△△存在，称此极限值为函数xfy在0x处的导数，记作0xf，请根据以上知识解决以下1~5题。1.一质点运动的方程为2t35s，则在一段时间t1,1△内相应的平均速度为A.6t3△B.6t3△C.6t3△D.6t3△2.将半径为R的球加热，若球的半径增加△R，则球的体积增加△y约等于A.RR343△B.RR42△C.2R4D.RR4△3.已知函数1xy的图象上一点（1，2）及邻近一点y2,x1△△，则xy△△等于A.2B.2xC.2+△xD.2+△2x4.自变量0x变到1x时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数A.在区间10x,x上的平均变化率B.在0x处的变化率C.在1x处的变化量D.在区间10x,x上的导数5.若函数xf在ax处的导数为A，求x2xafxaflim0x△△△△。题型二：导数的物理意义在物体的运动规律中，如果tss，那么物体的瞬时速度ttsttslimtslimv0t0t△△△△△△；如果tvv，那么物体的加速度ttvttvlimtvlima0t0t△△△△△△，请根据以上知识解决以下6~7题。6.若一物体运动方程如下：23t3t3293t02t3s22求物体在1t或3t时的速度。7.质点M按规律t43v做直线运动，则质点的加速度a=___________。题型三：导数的几何意义导数的几何意义：函数xfy在0x处的导数，即曲线xfy在点P（00xf,x）处切线的斜率为0xf，相应的切线方程是000xxxfyy，请根据以上知识解决以下8~9题。8.下面说法正确的是A.若0xf不存在，则曲线xfy在点（0x，xf）处没有切线B.若曲线xfy在点（00xf,x）处有切线，则0xf必存在C.若0xf不存在，则曲线xfy在点（00xf,x）处的切线斜率不存在D.若曲线xfy在点（00xf,x）处没有切线，则0xf可能存在9.已知曲线C：3xy。（1）求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程（2）第（1）小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？【互运探究】［学科内综合］10.设b,ax0，xfy在0x处可导是0xfy在（a，b）内可导的A.充分非必要条件B.必要而非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件11.如图3-1-1表示物体运动的路程随时间变化的函数2t2t4tf的图象，试根据图象，描述、比较曲线tf在0t、1t、2t附近的变化情况，并求出2t时的切线的方程。3［学科间综合］12.两工厂经过治理，污水的排放量（W）与时间（t）的关系如图所示，试指出哪一个厂治污效果较好？［新题型］13.柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的，铺路工人铺路时要对沥青加热使之由固体变成粘稠液体状，如果开始加热后第x小时的沥青温度（单位：℃）为8x1244x2x49201x020x80xf22（1）求开始加热后15分钟和30分钟时沥青温度的瞬时变化率；（2）求开始加热后第4小时和第6小时沥青温度的瞬时变化率。【经典名题】14.过点（-1，0）作抛物线1xxy2的切线，则其中一条切线为A.02yx2B.03yx3C.01yxD.01yx15.若曲线4xy的一条切线l与直线08y4x垂直，则l的方程为A.03yx4B.05y4xC.03yx4D.03y4x参考答案：1.D提示：∵t6t3135t135s222△△△△，∴6t3tt6t3tsv2△△△△△△。42.B提示：∵3R34RV，∴RVRRVy△△33R34RR34△33223R34RRR3RR3R34△△△322R34RR4RR4△△△，∵△R是一个很小的量，∴2R△和（△R）3非常小，∴RR4y2△△。3.C4.A5.解：∵Axafxaflim0x△△△，∴Axafxaflim0x△△△（令x△替换x△），∴x2xafxaflim0x△△△△xxafaflim21xafxaflim210x0x△△△△△△xafxaflimA210x△△△（当0x△时，0x△）AAA21。6.解：当1t时，2t3s2，232t13tsttss2△△△2t3t6△△，∴6t36limtt3t6limtslimv0t20t0t△△△△△△△△△。当3t时，23t329s，222t3333293t3329tsttss△△△△，∴0t3limtt3limtslimv0t20t0t△△△△△△△△。∴物体在1t和3t时的瞬时速度分别是6和0。57.4提示：4tt43tt43limtvlima0t0t△△△△△△。∴4a。8.C9.解：（1）将1x代入曲线C的方程，得1y，∴切点的坐标为（1，1）。∵xxxxlimy330x△△△2220xx3x3xx3xlim△△△，∴3|y1x，∴过点（1，1）的切线的方程为1x31y，即02yx3。（2）由3xy02yx3，得2x3x3整理得02xx1x2，解得1x或2x。从而获得切线与曲线的公共点为（1，1）和（-2，-8）。说明切线与曲线C的公共点除去切点外，还有一个公共点（-2，-8）提示：本例回答了一个问题：直线与曲线相切是否一定只有一个公共点。10.B11.解：用曲线tf在0t、1t、2t处的切线刻画曲线tf在0t、1t、2t附近的变化情况。（1）当0tt时，曲线tf在0t处的切线0l平行于x轴，所以在0tt附近曲线比较平坦，几乎没有升降。（2）当1tt时，曲线tf在1t处的切线1l的斜率0tf1，所以在1tt附近曲线下降，即函数tf在1tt附近单调递减。（3）当2tt时，曲线tf在2t处的切线2l的斜率0tf2，所以在2tt附近曲线下降，即函数tf在2tt附近也单调递减。由图象可以看出，直线1l的倾斜程度小于直线2l的倾斜程度，说明曲线tf在1t附近比在2t附近下降得缓慢。（4）当2t时，02f。在2t是的切线的斜率2fk6t2ft2flim0t△△△t88t22t24lim20t△△△△tt8t2t4lim20t△△△△△44t2lim0t△△。所以切线的方程为2x4y。即08yx4。提示：导数的几何意义是曲线的切线斜率，反过来，在曲线上取定一点作曲线的切线时，能根据切线判定斜率的符号即导数的符号，进而根据符号确定在该点附近曲线的升降情况（或函数的增减情况），同时可以根据几点处的切线倾斜程度的大小，判断曲线升降的快慢程度。12.解：在0t处，虽然0201tWtW，但tttWtWtttWtW02020101△△△△，所以说，在单位时间里，企业甲比企业乙的平均治污率大，因此企业甲比企业乙略好一些。13.解：（1）∵1x0时，20x80xf2，15分钟=0.25小时，30分钟=0.5小时，∴沥青温度在15分钟和30分钟时的瞬时变化率就是函数xf在25.0x处和5.0x处的导数25.0f和5.0f，∵x25.0fx25.0fxf△△△△x2025.08020x25.08022△△x8040xxx5.0802△△△△，∴40x8040limxflim25.0f0x0x△△△△△，∵同理可得xflim5.0f0x△△△80x8080lim0x△△。（2）当8x1时，244x2x4920xf2，7当4x时，x2444244920x244x42x44920xf22△△△△△△xxx649202△△△x64920△，∴4912064920x64920limxflim4f0x0x△△△△△，同理当6x时，x104920xf△△△，∴49200x104920limxflim6f0x0x△△△△△。提示：函数在某一点0xx处的瞬时变化率就是在0xx处的导数，物体在某一时刻0tt处的瞬时的速度就是相应运动方程在0tt处的导数。14.C15.A