数学理科试题答案

第1页/共8页2013201320132013高考解决方案零模考试（智康1对1）数学（理科）试卷答案一、选择题：本大题共8888小题，每小题5555分，共40404040分．1．A2．D3．B4．A5．A6．C7．B8．D二、填空题：本大题共6666小题，每小题5555分，满分30303030分．[来源:学*科*网]9．10210．23311．1−12．413．3014．①③三、解答题：本大题共6666小题，共80808080分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程．15.（本题满分13分）答案：⑴∵()(sincoscossin)(sincoscossin)3333fxxxxxππππ=−+2213sincos44xx=−11cos242x=−−∴函数()fx的最小正周期22Tππ=；………………………………………7分⑵∵()()()hxfxgx=+31sin2cos2sin(2)246xxxπ=−=−∴()hx的最小值为1−，此时22()62xkkZπππ−=−∈，6xkππ=−，使()hx取得最小值时的x取值集合{|,}6xxkkZππ=−∈.……………………13分16.（本小题满分14分）答案：（I）因为ABCD为矩形所以ABAD⊥又因为平面ABCD⊥平面ADEF所以AB⊥平面ADEF所以ABEF⊥又AFFE⊥，ABAFA=∩所以EF⊥平面ABF；…………4分AEFDBC(第20题图)HGQ第1页/共8页（II）延长AD，FE交于Q．因为ABCD是矩形，所以BC∥AD，所以∠AQF是异面直线EF与BC所成的角．在梯形ADEF中，因为DE∥AF，AF⊥FE，AF=AD＝2，DE＝1得∠AQF＝30°．…………9分(Ⅱ)方法一：设AB＝x．取AF的中点G．由题意得DG⊥AF．因为平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，所以AB⊥平面ADEF，所以AB⊥DG．所以DG⊥平面ABF．过G作GH⊥BF，垂足为H，连结DH，则DH⊥BF，所以∠DHG为二面角A－BF－D的平面角．在直角△AGD中，AD＝2，AG＝1，得DG＝3．在直角△BAF中，由ABBF＝sin∠AFB＝GHFG，得GHx＝214x+，所第3页/共8页GH＝24xx+．在直角△DGH中，DG＝3，GH＝24xx+，得DH＝22324xx++．因为cos∠DHG＝GHDH＝13，得x＝2155，所以AB＝2155．…………14分方法二：设AB＝x．以F为原点，AF，FQ所在的直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系Fxyz．则F(0，0，0)，A(－2，0，0)，E(3，0，0)，D(－1，3，0)，B(－2，0，x)，所以DF����＝(1，－3，0)，BF����＝(2，0，－x)．因为EF⊥平面ABF，所以平面ABF的法向量可取1n���＝(0，1，0)．设2n���＝(x1，y1，z1)为平面BFD的法向量，则111120,30,xzxxy−=⎧⎪⎨−=⎪⎩所以，可取2n���＝(3，1，23x)．因为cos1n���，2n���＝1212||||nnnn⋅⋅������������＝13，得x＝2155，所以AB＝2155．AEFDBC(第20题图)xzy第3页/共8页…………14分17.（本题满分13分）（Ⅰ）设成活沙柳的株数为X，则X=0，1，2，3，4，且有P(X=k)=44(1),(0,1,2,3,4)kkkCppk−−=………………………………………（4分）据题意，每种植3株就有2株成活，所以p=23株数X的分布列为X01234P18188182732811681∴X的期望值EX=188321680123481812781813×+×+×+×+×=………………………………………（7分）（Ⅱ）设参加种植沙柳的人数为x，则这当中的每一个人都种植了4株沙柳．据（Ⅰ）的结果，这些人每人都能种植成活的沙柳83株，因此，共种植成活的沙柳83x株．…………………………………………………………………………………（10分）据题意，需83x≥24000，解得x≥9000．所以，估计至少需要9000人来参加种植沙柳，才能保证有效防止风沙危害．……………………………………………………………………………………（13分）第5页/共8页18.（本小题满分13分）【答案】答案：(Ⅰ)∵()ln1fxx′=+，∴(1)1kf′==，(1)0f=，∴所求的切线方程为1yx=−.……………………4分(Ⅱ)()()ln0fxxax′=+.由()0fx′=得axe−=.当()0axe−∈，时，(0fx′），(fx）为减函数；当()axe−∈+∞，时，(0fx′），(fx）为增函数；………8分（III）由（II）知①当1aee−，即1a时，(fx）在1ee⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数，min12()()afxfee−==…9分②当1aeee−≤≤，即1a≤≤-1时，(fx）在1aee−⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为减函数，在aee−⎡⎤⎣⎦，上为增函数，min()()aafxfee−−==−；……………11分③当aee−，即1a−时，(fx）在1ee⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为减函数，min()()fxfeea==.…………………………12分综上所述，min21()111aaaefxeaeaa−−⎧⎪⎪⎪=−−≤≤⎨⎪−⎪⎪⎩，，，.……………………………13分19.（本题满分14分）解：(Ⅰ)∵63cea==，∴223ab=，∴椭圆C的方程为222213xybb+=.又∵椭圆C过点(11)M，，代入方程解得22443ab==，，∴椭圆C的方程为223144xy+=.……………………5分(Ⅱ)①当圆O的切线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykxm=+，则圆心O到直线l的距离211mdk==+，∴221km+=.………………………7分将直线l的方程和椭圆C的方程联立，得到关于x的方程为223()4xkxm++=，即第5页/共8页222(13)6340kxkmxm+++−=.由()222222213064(13)(34)4812163640kkmkmkmk⎧+⎪⎨∆=−+−=−+=+⎪⎩可设直线l与椭圆C相交于11()Axy，，22()Bxy，两点，则122613kmxxk+=−+，21223413mxxk−=+，………………………9分∴OAOB⋅��������=12xx+12yy=221212(1)()kxxkmxxm++++22222346(1)()1313mkmkkmmkk−=+⋅+⋅−+++222444013mkk−−==+，…………12分②当圆的切线l的斜率不存在时，验证得OAOB⋅��������=0.综合上述可得，OAOB⋅��������为定值0.…………………14分20.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由数列{}nt的定义可知:115tb==，224tb==，32338ttab=−+=，123320abSaaat=+++=．…………………………………4分（Ⅱ）证法一：由17abS=得()412345abtSaaaa=−+++=．…………………………………5分而116tb==，21225ttab=−+=，32332ttabx=−+=+，…………………………………6分当34ta，即2x时，有44tby==，则5y=；当34ta≥，即2x≥时，有43442ttabxy=−+=−+，则7725yx=−≤−=，综上所述，必有5y≤成立．…………………………………9分证法二：当1nnta−即1nnnntabb−−+时，有nntb=；第7页/共8页当1nnta−≥即1nnnntabb−−+≥时，有1nnnnttab−=−+，可见{}1max,nnnnntbtab−=−+．由17abS=得()412345abtSaaaa=−+++=，故{}34max,45yytyt≤−+==．…………………………………9分（Ⅲ）abS的最小值为51，当表格如下排列（记作排列※）时可取到：na5691373nb108121141…………………………………10分证法一：当16n≤≤时，由（Ⅱ）知{}1max,nnnnntbtab−=−+，则1nnnnttab−≥−+，即1nnnnttba−−≥−.于是6566ttba−≥−，5455ttba−≥−，4344ttba−≥−，3233ttba−≥−，2122ttba−≥−．将上述不等式相加得：()()61236236ttbbbaaa−≥+++−+++⋯⋯.……………………………11分∵()1266abSaaat=++++⋯.∴()()()1261236236abSaaatbbbaaa≥++++++++−+++⋯⋯⋯.∴()11236146abSabbbba≥+++++=+⋯.①将前4个不等式相加得()()6234563456ttbbbbaaaa−≥+++−+++.类似地，可整理得()2121246abStbbaa≥+−−++.②若13a≠，可见15a≥，由①得14651abSa≥+≥；若13a=，则11b=，那么1121tba==，故22tb=.此时由②得()21212112246464853abStbbaabaaa≥+−−++=−++=+≥．综上所述，51abS≥总是成立的．…………………………………13分证法二：对于由表格排列得到的数列{}{},nnab，若存在{}{}11min,min,iiiiabab−−（其中26i≤≤），则交换表格的第i列与第i−1列，得到新数列{}{},nnAB．则对原数列，有{}{}11211max,max,,iiiiiiiiiiiiiitbtabbbabtabab−−−−−=−+=−+−+−+.而对新数列，有{}1211max,,iiiiiiiiiiTBBABTABAB−−−−=−+−+−+{}111211max,,iiiiiiiiibbabtabab−−−−−−=−+−+−+.第7页/共8页注意到{}{}111max,max,iiiiiiiibbabbbba−−−−+=++−−{}11min,iiiibbba−−=+−{}11min,iiiibbba−−+−{}{}11111max,max,iiiiiiiibbbabbab−−−−−=++−−=−+.这就说明iitT≥，那么{}{}11111111max,max,iiiiiiiiiitbtabbTabT++++++++=−+≥−+=.依此类推可得66tT≥，则abABSS≥．可见，交换第i列与第i−1列后，新数列的并和不会增加．…………………………………12分对于任何一种由表格排列得到的数列{}{},nnab，可以通过上述有限次调整，得到排列※．这是因为考查表格中最小的数，可以经过有限次调整，将它调整到※中的位置，固定该列后再考察余下数中最小的那一个，依此类推即可．在调整的过程中，数列{}na到{}nb的并和abS没有增加，因此调整前的abS一定不小于51．由{}{},nnab初始状态的任意性，可知abS的最小值就是51．…………………………………13分