数学竞赛辅导讲义1

高考网数学竞赛辅导讲义（1）（一）抽象函数知识提要：所谓抽象函数泛指不具体的函数，然而抽象函数又以具体函数为背景，所以研究抽象函数很有应用价值.1.设fx是定义在R上的增函数，且xfxffyy，若31f，则使125fxfx成立的x的取值范围是.2.函数fx是定义在R上的函数，它的图象既关于直线5x对称，又关于直线7x对称，则函数fx的最小正周期是.3.设函数yfx是在R上有定义且在0,1上是单调递减的周期为2的偶函数，则1,0,2.5fff由小到大的顺序为.4.定义在R上的函数fx，恒有fxyfxfy.若164f，那么2006f等于.（二）函数x和{x}知识提要：函数x表示实数x的整数部分（不超过x的最大整数）.通常称yx为取整函数，又称高斯函数.而{}x为实数x的小数部分.任一实数都能写成整数部分与小数部分之和，即{}xxx.例如：当3.71x时，3.714，{3.71}0.29，且3.7140.29.5.定义符号x表示不超过x的最大整数.则方程2sinxx0x的解集（x以弧度为单位）是.6.设x表示不超过x的最大整数，则不等式221160xx的解集是.7.自然数n能被n整除，其中x表示不超过x的最大整数，则n的表达式为（用n表示结果）.8.1xy是xy成立的条件.（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分且必要”、“既不充分也不必要”四者之一）（三）函数迭代和函数方程设f是DD的函数，对任意,xD记0,fxx定义1*,,nnfxffxnN则称函数nfx为fx的n次迭代.nfx的一般求法是先猜后证：先迭代几次，观察有何规律，由此猜测出nfx的表达式，然后证明.含有未知函数的方程称为函数方程.如果一个函数fx对其定义域内自变量的一切取值均满足所给的函数方程，则称fx为该方程的解.证明函数方程无解或寻求其解的过程就是解函数方程.一般用以下方法：（1）代换法：将方程中的自变量适当地以别的自变量代换（代换时应注意使函数的定义域不发生变化），得到一个或几个新的函数方程，然后设法求得未知函数.（2）赋值法：根据所给条件，适当地对自变量赋予某些特殊值，从而简化函数方程，逐步靠近未知结果，最终解决问题.（3）待定系数法：当函数方程中的未知函数是多项式时，可用此法比较系数而求解.高考网（4）递推法：即通过初始条件和递推关系求解，例如通过数列的递推关系求通项公式等.9.自然数k的各位数字和的平方记为1,fk且11,nnfkffk则11nf的值域为（A）*N；（B）{2,4,7}；（C）{4,16,49,169,256}；（D）{2,4,7,13,16}10.设12,1fxx而*11,.nnfxffxnN记21,22nnnfaf则99a等于