数学第一章计数原理测试1新人教A版选修23高中数学练习试题

-1-第1章《计数原理》一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数()A．40B．74C．84D．200解析：分三类：第一类，前5个题目的3个，后4个题目的3个，第二类，前5个题目的4个，后4个题目的2个，第三类，前5个题目的5个，后4个题目的1个，由分类加法计数原理得C53C43＋C54C42＋C55C41＝74.答案：B2．在x＋13x24的展开式中，x的幂指数是整数的项共有()A．3项B．4项C．5项D．6项解析：Tr＋1＝C24rx1224－rx－13r＝C24rx12－56r，所求x的幂指数是整数的项必须满足56r为整数且0≤r≤24，故r＝0,6,12,18,24，所求项共有5项．答案：C3．某次文艺汇演，要将A、B、C、D、E、F这六个不同节目编排成节目单，如下表：序号123456节目如果A、B两个节目要相邻，且都不排在第3号位置，那么节目单上不同的排序方式有()A．144种B．192种C．96种D．72种解析：第一步，将C、D、E、F全排，共有A44种排法，产生5个空，第二步，将A、B捆绑有2种方法，第三步，将A、B插入除2号空位和3号空位之外的空位，有C31种，所以一共有144种方法．答案：A4．若(2x＋3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值为()A．2B．－1C．0D．1解析：(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)(a0－a1＋a2－a3＋a4)＝(2＋3)4×(－2＋3)4＝1.答案：D5．用4种不同的颜色涂入图中的矩形A、B、C、D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同涂法有()AB-2-CDA.72种B．48种C．24种D．12种解析：涂A共4种涂法，则B有3种涂法，C有2种涂法，D有3种涂法．∴共有4×3×2×3＝72种涂法．答案：A6．有两排座位，前排11个座位，后排10个座位．现安排2人就坐，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是()A．234B．276C．350D．363解析：采用间接法：因为前排中间的3个座位不能坐，所以共有A182＝306种不同的坐法，其中2人左右相邻的坐法有15×A22＝30种不同的坐法．∴不同排法的种数是306－30＝276种．答案：B7．(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝()A．6B．7C．8D．9解析：注意到二项式(1＋3x)n的展开式的通项是Tr＋1＝Cnr1n－r·(3x)r＝Cnr·3r·xr，于是依题意有Cn5·35＝Cn6·36，即－－－－5！＝3×－－－－－6！(n≥6)，由此解得n＝7.答案：B8．在(1＋x)n的展开式中，奇数项之和为p，偶数项之和为q，则(1－x2)n等于()A．0B．pqC．p2－q2D．p2＋q2解析：由于(1＋x)n与(1－x)n展开式中奇数项相同，偶数项互为相反数，因此(1－x)n＝p－q，所以(1－x2)n＝(1－x)n(1＋x)n＝(p＋q)(p－q)＝p2－q2.答案：C9．直线l1∥l2，l1上有4个点，l2上有6个点，以这些点为端点连成线段，他们在l1与l2之间最多的交点个数是()A．24B．45C．80D．90解析：因为在直线l1和l2上分别取2个点构成四边形的个数为C42C62＝90，又因为每一个四边形的对角线有1个交点，故交点的个数最多为90个．答案：D10．若2x－1xn展开式中含1x2项的系数与含1x4项的系数之比为－5，则n等于()A．4B．6C．8D．10-3-解析：展开式通项为Tk＋1＝Cnk(2x)n－k－1xk＝(－1)k2n－kCnk·xn－2k.选项A中若n＝4，k＝4，则Tk＋1＝(－1)k·24－kC4kx4－2k，当4－2k＝－2时，k＝3，当4－2k＝－4时，k＝4，则T4＝(－1)3·24－3C43x－2＝－8x－2，T5＝(－1)420C44x－4＝x－4，此时系数比不是－5.选项B中若n＝6，则Tk＋1＝(－1)k26－kC6kx6－2k，当6－2k＝－2时，k＝4，当6－2k＝－4时，k＝5，则T5＝(－1)4·22C64x－2＝60x－2，T6＝(－1)521C65x－4＝－12x－4，此时系数比为－5，所以B正确，同理可以验证C、D选项不正确．答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．设二项式x－ax6(a＞0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B＝4A，则a的值是________．解析：x－ax6展开式的通项为Tr＋1＝C6rx6－r－axr＝(－a)rC6rx6－3r2当r＝2时，x3的系数A＝(－a)2C62＝15a2，当r＝4时，常数项B＝(－a)4C64＝15a4，∵B＝4A，得15a4＝4×15a2，∵a＞0，得a＝2.答案：212．在由数字0,1,2,3,4,5组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有________个．解析：所有由0,1,2,3,4,5组成的4位数，共有A51·A53＝300个，末尾为0的有A53＝60个，末尾为5的有A41·A42＝48(个)．故满足题意的数共有300－60－48＝192(个)．答案：19213．如图是由12个小正方形组成的3×4矩形网格，一质点沿网格线从点A到点B的不同路径之中，最短路径有________条．解析：把质点沿网格线从点A到点B的最短路径分为七步，其中四步向右，三步向下，不同走法的区别在于哪三步向下，因此，本题的结论是：C73＝35.答案：3514．(x＋1)3＋(x－2)8＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a8(x－1)8则a6＝________.解析：∵(x＋1)3＋(x－2)8＝[(x－1)＋2]3＋[(x－1)－1]8∴a6(x－1)6＝C82(x－1)6(－1)2＝28(x－1)6∴a6＝28.答案：28三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)-4-15．(本小题满分12分)某班有男生28名、女生20名，从该班选出学生代表参加校学代会．(1)若学校分配给该班1名代表，则有多少种不同的选法？(2)若学校分配给该班2名代表，且男、女生代表各1名，则有多少种不同的选法？解析：(1)选出1名代表，可以选男生，也可以选女生，因此完成“选1名代表”这件事分2类：第1类，从男生中选出1名代表，有28种不同方法；第2类，从女生中选出1名代表，有20种不同方法．根据分类加法计数原理，共有28＋20＝48种不同的选法．(2)完成“选出男、女生代表各1名”这件事，可以分2步完成：第1步，选1名男生代表，有28种不同方法；第2步，选1名女生代表，有20种不同方法．根据分步乘法计数原理，共有28×20＝560种不同的选法．16．(本小题满分12分)若x＋13x2n的第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比是14∶3，求展开式中的常数项．解析：由题意有Cn4∶Cn2＝14∶3，解得n＝10(n＝－5舍去)Tr＋1＝C10r(x)10－r13x2r＝C10rx10－r213rx－2r＝13rC10rx10－r2－2r，令10－r2－2r＝0，∴r＝2.∴常数项为132C102＝5.17．(本小题满分12分)有6本不同的书，分给甲、乙、丙三个人．(1)如果每人得两本，有多少种不同的分法？(2)如果一个人得1本，一个人得2本，一个人得3本，有多少种不同的分法？(3)如果把这6本书分成三堆，每堆两本有多少种不同分法？解析：(1)假设甲先拿，则甲从6本不同的书中选取2本有C62＝15种方法，不论甲取走的是哪两本书，乙再去取书时只能有C42＝6种，此时剩下的两本书自然给丙，就只有C22＝1种方法，由分步乘法计数原理得一共有C62·C42·C22＝90种不同分法．(2)先假设甲得1本，乙得2本，丙得3本，则有C61C52C33种方法，一共有C61C52C33A33＝6×10×6＝360种不同分法．(3)把6本书分成三堆，每堆2本，与次序无关．所以一共有C62C42C22A33＝15种不同分法．18．(本小题满分14分)若(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10.(1)求a2；(2)求a1＋a2＋…＋a10；(3)求(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2.解析：(1)方法一：(x2－3x＋2)5＝(x－1)5(x－2)5，(x－1)5展开式的通项公式为-5-C5r·(－1)r·x5－r(0≤r≤5)；(x－2)5展开式的通项公式为C5s·(－2)s·x5－s(0≤s≤5)，所以(x2－3x＋2)5展开式的通项公式为C5r·C5s·(－1)r＋s·2s·x10－r－s，令r＋s＝8，得r＝3s＝5或r＝4s＝4或r＝5s＝3.所以展开式中x2的系数为C53C5525＋C54C5424＋C55C5323＝800，即a2＝800.方法二：(x2－3x＋2)5的本质是5个x2－3x＋2相乘，由多项式的乘法法则，产生含x2的项有两种可能：①5个x2－3x＋2中有一个取含x2的项，其他的取常数项，得到的系数是C51·24＝80；②5个x2－3x＋2中有两个取x的项，其他的取常数项，得到的系数是C52·(－3)2·23＝720，∴展开式中含x2的项的系数是80＋720＝800，即a2＝800.(2)令f(x)＝(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，a0＝f(0)＝25＝32，a0＋a1＋a2＋…＋a10＝f(1)＝0，∴a1＋a2＋…＋a10＝－32.(3)(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)(a0－a1＋a2－…＋a10)＝f(1)·f(－1)＝0.