数学经典易错题会诊与高考试题预测12高中数学练习试题

1经典易错题会诊与2012届高考试题预测（十二）考点12排列、组合、二项式定理►正确运用两个基本原理►排列组合►二项式定理►在等可能性事件的概率中考查排列、组合►利用二项式定理解决三项以上的展开式问题►利用二项式定理证明不等式经典易错题会诊命题角度1正确运用两个基本原理1．（典型例题）已知集合A=B={1，2，3，4，5，6，7}，映射f:A→B满足f(1)f(2)f(3)f(4),则这样的映射f的个数为（）A．C47A33B．C47C．77D．C7473[考场错解]∵f(1)f(2)f(3)f(4)，且f(1)f(2)f(3)f(4)的值为{1，2，3，4，5，6，7}中的某4个，∴这样的映射有C47个，∴选B[专家把脉]C47中的任何一种方法都没有完成组成映射这件事情，因为只找到1、2、3、4的象，而5、6、7的象还没有确定。[对症下药]由映射的定义f(1)f(2)f(3)f(4)的值应为{1，2，3，4，5，6，7}中的某4个，又f(1)f(2)f(3)f(4)∴f(1)f(2)f(3)f(4)的大小已定，∴1、2、3、4的象的可能为C47，5、6、7三个元素的象每一个都有7种可能，∴有73种可能。根据分肯计数原理，这样的映射共有C47·73个。∴选D。2．（典型例题）8人进行乒乓球单打比赛，水平高的总能胜水平低的，欲选出水平最高的两人，至少需要比赛的场数为__________（用数字作答）[考场错解]每两人之间比赛一场，需要比赛C28=28场，填28场；或第一轮分成4对进行比赛，负者被淘汰，胜者进入第二轮，需4场比赛；第二轮分成2对进行比赛，胜者为水平最高的两人，需2场比赛。∴至少需要比赛6场，填6。[专家把脉]前一种解法的错误是没有看清题意，“至少”没有理解好；后一种解法的错误是没有选出水平最高的两人，错误地认为这种淘汰赛最后的两人就是水平最高的两人，实际上第二名有可能在第一轮或第二轮就被第一名淘汰了。[对症下药]先将8人分成4对进行比赛，胜者进入第二轮，需要4场比赛，将进入第二轮的四人分成2对进行比赛，胜者进入第三桦，需要2场比赛，进入第三轮的2人进行比赛，胜者为第一名，需一场比赛；将第一轮、第二轮、第三轮被第一名淘汰的选手共3人决出第一名，需2场比赛。∴至少需要4+2+1+2=9场比赛。3．（典型例题）设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向2跳1个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有_________种（用数字作答）。[考场错解]因为每一步都有两种可能，所以共有25=32种方法，又由于这32种方法中质点落在（3，0）与不在（3，0）的可能相同，∴质点不同的运动方法共有16种，填16。[专家把脉]质点落在（3，0）与不在（3，0）的可能相同是错误的，错误的原因是分析问题的能力较差，没有转化的思想，也没有分类讨论的思想。[对症下药]解法一：如图12-1，A（1，0）、B（2，0）、C（3，0）、D（4，0）、E（-1，0），依题意跳动4次后，只有在B点或D点可跳到C点，画出树图，可得结果为5。解法二：设向右跳一次记为+1，向左跳一次记为-1，需要其和为+3，那么应为4个+1，1个-1，∴质点不同的运动方法共有C15=5种。4．（典型例题）从1、3、5、7中任取2个数字，从0、2、4、6、8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有__________个（用数字作答）。[考场错解]从难从1、3、5、7中任取两个数字有C24种方法，从0、2、4、6、8中任取两个数字有C25种方法，能被5带队的数有两类：（1）0在末位，有A33种排法；（2）5在末位，有C12·A22=4种排法，依据分步和分类计数原理，共有（C24+C25）·（A33+4）=160。∴填160。[专家把脉]将问题分成两步，这是不错的，但第2步认为5和0一定被选出来了这是错误的，没有分类讨论的思想是错误的根源。[对症下药]将问题分成三类：（1）含数字5，不含数字0，则选元素的过程有C13·C24种方法，将5排在末位，则组数的过程有A33种方法，依据分步计数原理得这一类共有C13·C24·A33=108个；（2）含数字0，不含数字5，则选元素的过程有C23·C14种方法，将0排在末位，则组数过程有A33种方法，这一类共有C23C14·A33=72个；（3）含数字0，也含数字5，则选元素的过程有C13·C14，若0在末位，则组数过程有A33种方法，若0不在末位，则组数过程有C12·A22种∴种这类共有C13C14（A33+C12A22）=120个。根据分类计数原理，其中能被5整除的四位数共有108+72+120=300个。专家会诊两个基本原理是学习排列、组合的重要基础，解决两个原理的应用问题首先要明确所完成的事情是什么，然后再分析每一种做法，事情是否完成，从而区分分类计数原理和分步计数原理，运用分类计数原理时，要恰当分类，做到不重复，又不遗漏；运用分步计数原理时，关键是分好步，需要分析要分几步才能完成。一个比较复杂的问题一般遵循先分类后分步的解题步骤，平时应注意养成一题从多角度来解的习惯。考场思维训练1设集合P={x,1},Q={y,1,2},其中x,y∈{1，2，3…，9}，且PQ。把满足上述条件的一对有序整数对（x,y）作为一个点的坐标，则这样的点个数是（）A．9个B．14个C．15个D．21个答案：B解析：∵PQ，∴x=2或x=y，当x=2时，y有3，4，…，9等7个值，此时点的个数是7个；当x=y时，x=y有3，4，…9等7个值，此时点的个数是7个，∴这样的点的个数是14个，∴选B2用五个数字0、1、1、2、2组成的五位数总共有（）3A．12个B．24个C．30个D．48个答案：B解析：分三步：(1)确定首位，1或2，共有两种方法；(2)将两个相同的元素安排位置有24C种；(3)第三步排剩下的两个元素，有22A种．∴共有2×24C×22A=24．36个同学报考3所院校，每人只报考一所，每所院校至少报1人，则不同的报考方法为__________。（用数字作答）答案：540解析：不管限制条件，每人都有3种报法，共有36种，其中只报考了两所院校和只报考了一所院校不符合题意，只报考了两所院校的可能有23C(26-2)，只报考了一所院校的可能有3，∴不同的报考方法数为36-23C(26-2)-3=540．或第一步将6人分成三部分，有三种情况：(1)1，1，4，方法数为!21516CC；(2)1，2，3，方法数为2516CC;(3)2，2，2方法数为.!32426CC∴这一步的方法数为!21516CC+2516CC+!32426CC=90；第二步将这三部分人分到3所院校有33A，∴不同的报考方法数为90×33A=540．命题角度21．（典型例题）用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是______________.[考场错解]将两个奇数数字排好有A22种方法，有三个空档，由于0不能在首位，∴偶数数字的排法有2A22种，∴不同的五位数有2A22·A22=8个∴填8。[专家把脉]对相邻问题的一般解法不熟悉，错解中的8个符合题意，但是遗漏了很多情况。[对症下药]分两种情况：（1）若0夹在两个奇数之间，将这三个数字看成一个整体与剩下的两个偶数一起排列有A33种，考虑到1与3可以互换位置所以这种情况有A33·A22=12个；（2）若2、4中一个夹在两个奇数数字之间，同上的想法，共有C12·C12·A22·A22=16个，∴满足条件的五个数的个数是12+16=28个。2．（典型例题）将标号为1、2，…10的10个数放入标号为1，2，…10的10个盒子内，每一个盒内放一个球茎，恰在此时好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法种数为（）A．120B．240C．360D．720[考场错解]第一步考虑哪三个球的标号与其所在盒子的标号不一致，有C310=120种；第二步选出来的3个球与其盒子的标号不一致，用间接解法，总数A33，不符合题意的有三个盒子与其球的标号一致，有1种可能，两个盒子与其球的标号一致，有1种可能，一个盒子与其球的标号一致，有3种可能，∴这一步的方法数为A33-1-1-3=1，根据分步计数原理，放入方法种数为120×1=120。选A。[专家把脉]第二步中有错误，实际上两个盒子的标号与球的标号一致，就一定是三个盒子的标号与球的标号一致，用间接解法时多减了。4[对症下药]第一步确定是哪三个球的标号与其盒子的标号不一致，有C310=120种方法，第二步：选出来的三个球的标号与其盒了的标号不一致，只有2种方法。根据分步计数原理放入方法种数为120×2=240。∴选B。3．（典型例题）已知集合A有4个元素，集合B有3个元素，集合A到B的映射中，满足集合B的元素都有原象的有多少个？[考场错解]将A中4个元素用隔板法分成三部分，有C23种方法，再将这三部分与B中元素对应有A33种方法。∴满足条件的映射有C23·A33=18个；或先在A中选3个元素与集合B中的元素对应有A34种方法，剩下的一个元素有3种对应方法。∴满足条件的映射有A34·3=72个。[专家把脉]前一种解法错在将不同的东西用隔板法分组，实际上只有分相同的东西才能用陋板法。如若将A中4个元素记为a、b、c、d、B中的3个元素记为A、B、C，某一个映射中a,d都与A对应，用隔板法是做不到的。后一种解法的错误是重复，如a,d都与A对应，b,c分别与B、C对应这个映射算了两次。[对症下药]依题意，A中肯定有某两元素与B中的一个元素对应，先在4个元素中选2个，当作一整体与其他两元素一起看作3个元素与B中的元素对应，∴满足条件的映射有C24·A34=36个。4．．（典型例题）4名男同学排好有A44种方法，再在5个空档处将4名女生插进去，有A45种方法。∴不同的排法数为A44·A45=2880[专家把脉]这2880种排法中有的排法男生是相邻的。如女、男、女、男、男、女、男、女是2880中的一种，但其中有两男生相邻。[对症下药]先将4名男同学排好有A44种方法，再将女生插进去，有2A44种方法，所以不同的排法种数为A44·2A44=1152种。考场思维训练1集合A=B={1，2，3，4，5}，从A到B的映射，满足：（1）f(1)≤f(2)≤f(3)≤f(4)≤f(5);(2)f的象只有2个。则这样的映射有_______个.答案：40解析：第一步从1，2，3，4，5中选2个元素作为f的象，有25C种；第二步将选出的元素与1，2，3，4，5对应，∵f(1)≤f(2)≤f(3)≤f(4)≤f(5)，∴有14C种对应方法．∴不同的映射有14C25C=40个．2（1）将10个相同的小球装入3个编号为1、2、3的盒子，要求每个盒子里球的个数不少于盒子的编号数，这样的装法种数为__________.答案：解析：15(1)15先在2号盒子中放一个球，在3号盒子中放2个球，剩下的7个球之间有6个空档，放2个隔板，有26C=15种方法，上面15种方法都能使盒子里球的个数不少于盒子里的编号数．∴填15．(2)方程x+y+z=10(x,y,z∈N)的解有________组。答案：66在排好的13个1的12个空档中放人两个隔板，有212C=66种方法，将x、y、z分到的1的个数分别减去1个，这样x+y+z=10，且x、y、z∈N.∴方程的解有66组．∴填566．3已知m、n∈{0,1,2,3,4,5,6},则方程C6mx2+Cn6y2=1表示不同的椭圆的个数是__________.答案：12解析：∵mC6x2+nC6y2=1表示椭圆，∵m≠n，且m+n≠6．∴将0，1，2，3，4，5，6分成(0，6)，(1，5)，(2，4)，3，四组．m，n的取值相当于从4个不同的元素中选2个．∴不同的椭圆的个数是24A=12．∴填12．命题角度3二项式