数学经典易错题会诊与高考试题预测14高中数学练习试题

1经典易错题会诊与2012届高考试题预测（十四）考点14极限►数学归纳法►数列的极限►函数的极限►函数的连续性►数学归纳法在数列中的应用►数列的极限►函数的极限►函数的连续性经典易错题会诊命题角度1数学归纳法1．（典型例题）已知a0,数列{an}满足a1=a,an+1=a+na1,n=1,2,….(Ⅰ)已知数列{an}极限存在且大于零，求A=nnalim(将A用a表示)；(Ⅱ)设bn=an-A,n=1,2…,证明：bn+1=-;)(AbAbnn(Ⅲ)若|bn|≤n21,对n=1,2…都成立，求a的取值范围。[考场错解](Ⅰ)由nnalim，存在，且A=nnalim（A0）,对aa+1=a+na1两边取极限得，A=a+A1.解得A=.242aa又A0,∴A=.242aa(Ⅱ)由an+bn+A,an+1=a+na1得bn+1+A=a+Abn1.∴.)(1111AbAbAbAAbAabnnnnn即)(1AbAbbnnn对n=1,2…都成立。(Ⅲ)∵对n=1,2,…|bn|≤n21，则取n=1时，21||1b,得.21|4(21|2aaa∴14.21|)4(21|22aaaa,解得23a。2[专家把脉]第Ⅲ问中以特值代替一般，而且不知{bn}数列的增减性，更不能以b1取代bn.[对症下药](Ⅰ)(Ⅱ)同上。(Ⅲ)令|b1|≤21,得.21|)4(21|2aaa∴.21|421|2aa∴.23,142aaa解得现证明当23a时，nnb21||对n=1,2,…都成立。(i)当n=1时结论成立（已验证）。(ii)假设当n=k(k≥1)时结论成立，即kkb21||，那么.21||1|)(|||||1kkkkkAbAAbAbb故只须证明21||1AbAk，即证A|bk+A|≥2对a≥23成立由于,422422aaaaA而当a≥23时，而当a≥23时，.2,142Aaa∴,1212||||kkkbAAb即A|bk+A|≥2.故当a≥23时，.212121||11kkkb即n=k+1时结论成立。根据(i)和(ii)，可知结论对一切正整数都成立。故|bn|≤n21对n=1,2,…都成立的a的取值范围为[,23]2．(典型例题)已知数列{an}中,a1=3,前n项和Sn满足条件Sn=6-2an+1.计算a2、a3、a4,然后猜想an的表达式。并证明你的结论。[考场错解]当n≥2时，an=Sn-Sn-1=6-2an+1-(6-2an)=2an-2an+1,即an+1=21an.因为a1=3,所以a2=21a1=23,a3=21a2=43,a4=21a3=.83由此猜想an=)(23*1Nnn①当n=1时，a1=1123=3,结论成立；②假设当n=k(k≥1)时结论成立，即ak=123k成立，则当n=k+1时，因为ak+1=21ak，所以,211kkaa又a1=3,所以{an}是首项为3公比为21的等比数列。由此得ak+1=3·（21）k+1-1=1123k,3这表明，当n=k+1时结论也成立。由①、②可知，猜想对任意n∈N*都成立。[专家把脉]①应由a1=S1=6-2a2,求得a2=23,再由an+1=21an(n≥2)求得a3=43,a4=83,进而由此猜想an=123n(n∈E*).②用数学归纳法证明猜想时，没有利用归纳假设123kka，而是根据等比列的通项公式求得ak+1=1123k.这种证明不属于数学归纳法。[对症下药]由a1=S1=6-2a2,a1=3,得a2=.23当n≥2时，an=Sn-Sn-1=6-2an+1-(6-2an)=2an-2an+1,即an+1=21an.将a2=23代入得a3=21a2=43,a4=21a3=83,由此猜想an=*).(231Nnn下面用数学归纳法证明猜想成立。①当n=1时，a1=3311a,猜想成立；②假设当n=k(k≥1)时结论成立，即ak=123k成立，则当n=k+1时，因为ak+1=21ak，所以ak+1=21·123k=112323kk这表明，当n=k+1时结论也成立。由①，②可知，猜想对n∈N*都成立。3．（典型例题）已知不等式21+31+…+n121[log2n],其中n为大于2的整数，[log2n]表示不超过log2n的最大整数。设数列{an}的各项为正，且满足a1=b(b0),an≤11nnanna,n=2,3,4,….(Ⅰ)证明：an≤][log222nbb，n=2,3,4,5,…;(Ⅱ)猜测数列{an}是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；（Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当nN时，对任意b0,都有an51.[考场错解]（1）利用数学归纳法证明不等式：.)(1bnfban1）当a=3时，bfbaaaaaan)3(112231333311222知不等式成立。2）假设n=k(k≤3)时，ak≤,)(1bkfb则.)1(1111)1()1(1bkfbakkakakakkkk即n=k+1时，不等式成立。4(Ⅱ)有极限，且.0nnnalina(Ⅲ).51][log2,][log2][log22222nnnbb令解得n10=1024.取N=1024,有an51.[专家把脉]（1）在运用数学归纳证明时，第n-k+1步时，一定要运用归纳假设进行不等式放缩与转化，不能去拼凑。[对症下药]（Ⅰ）证法1：∵当n≥2时，0an≤,11nnanma∴naananaanannnnnn1111,111111即,于是有naaaaaann1111,,3111,21112312，所有不等式两边相加可得.13121111naan由已知不等式知，当n≥3时有，].[log211121naan∵a1b,∴.2][log2][log211122bnbnban∴an.][log222nbb证法2：设f(n)=n13121,首先利用数学归纳法证不等式,)(1bnfbann=3,4,5,….(i)当n=3时，由.)3(1122313333112223bfbaaaaaa知不等式成立。(ii)假设当n=k(k≥3)时，不等式成立，即ak≤,)(1bkfb则ak+1≤,)1(1]11)([1)()1()1()1(1)(1)1(1111)1()1(bkfbbkkfbbbkfkkbkbbkfkkakkakakkkk即当n=k+1时，不等式也成立。由（i）、（ii）知，an≤bnfb)(1n=3,4,5,….又由已知不等式得,][22][log21122nbogbbbnbann=3,4,5,….(Ⅱ)有极限，且0limnna,5(Ⅲ)∵51][log2,][log2][log22222nnnbb令，则有log2n≥[log2n]10,n210=1024,故取N=1024，可使当nN时,都有an51专家会诊1．一般与自然数相关的命题，或有关代数恒等式的证明，三角恒等式、三角不等式、整除性、与数列有关的问题和有关几何问题都可用数学归纳法。2．运用数学归纳法证明时，第二步是关键、必须用到归纳假设，否则就不是数学归纳法的证明。考场思维训练1用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·3·5…(2n-1)(n∈N+)”时，从n=k到n=k+1,给等式的左边需要增乘的代数式是（）132.1)22)(12(.112.12.kkDkkkCkkBkA答案：C解析：略2曲线C：xy=1(x0)与直线l:y=x相交于A1,作A1B1⊥l交x轴于B1,作B1A2∥l交曲线C于A2…依此类推。（1）求点A1、A2、A3和B1、B2、B3的坐标；答案：A1(1,1)、A2（2+1,2-1）、A3（3+2,3-2）、B1（2,0）、B2（22,0）、B3（23,0）（2）猜想An的坐标，并加以证明；答案：An()1,1nnnn,证明略.（3）.||lim11nnnnnBBBB答案：设An().0,(),,1nnnnbBaa由题图：A1（1，1），B1（2，0）∵a1=1,b1=2且)(1111上在直线nnnnnnnbxyAbnaaaab∴11lim22lim|1||1|lim1nnnnaaBBBBnnnnnnnnn，分子分母乘以（)1)(1nnnn）6及nlim1111111lim11nnnnnnn3设数列a1,a2,…，an,…的前n项的和Sn和an的关系是Sn=1-ban-,)1(1nb其中b是与n无关的常数，且b≠-1。（1）求an和an-1的关系式；答案：an=Sn-Sn-1=-b(an-an-1)-)2()1()()1(1)1(111nbbaabbbnnnnn解得an=)2()1(111nbbabbnn（2）猜想an的表达式（用n和b表示）；答案：∵a=S1=1-ba1-21)1(,11bbab,)1()1()1(])1(1[)1(1)1(2)1()1(])1(1[1ba13232121322212nnnnnnnnnnbbbbabbbbbbbabbbbnbbbabbbbbbabbb由此猜想an=1111)1(32)1(nnnbbbbbabb把a1=2)1(bb代入上式得an=)1(2)1()1)(1()1(21111bnbbbbbbbbbnnnnn（3）当0b1时，求极限.limnnS答案：.1lim,0)11(lim,0lim,10),1()11(1)()1(11)1(1)1)(1(1)1(11).3(1111nnnnnnnnnnnnnnnSbbbbbbbbbbbbbbbbbbaS时命题角度2数列的极限71．（典型例题）已知数列{xn}满足x2=,21xxn=21(xn-1+xn-2),n=3,4,….若.limnnx=2,则x1=()A．23B．3C．4D．5[考场错解]C.∵x1=4.∴x2=2,x3=21(x1+x2)=3,x4=21(2+3)=25,x5=21(3+25)=411,….当n，由趋势可知2nx，故选C[专家把脉]通过有限项看趋势，并不能准确描述极限。[对症下药]B由xn=21(xn-1+xn-2)可得2x3=x2+x1,2x4=x3+x2,2x5=x4+x3,…,2xn=xn-1+xn-2,两边相加得：2xn+xn-1=2x2+x1,两边取极限，2x1=4+2，∴x1=3.2.(05，浙江高考卷)2321limnnn=（）A．2B．4C．21D．0[考场错解]D2321limnnn=.01lim2lim1lim)1321(lim22222nnnnnnnnnnn[专家把脉]无穷数列的和的极限不能求极限的和。[对症下药].2121lim2)1(lim2nnnnnnn3．（典型例题）已知数列{log2(an-1)}(n∈N*)为等差数列，且a1=3,a2=5,则nlim)111(12312nnaaaaaa=()A．2B．23C．1D．21[考场错解]D∵a1=3,a2=5.∴log2(a1-1)=1.log2(a