数学经典易错题会诊与高考试题预测9高中数学练习试题

1经典易错题会诊与2012届高考试题预测（九）考点9圆锥曲线►对椭圆相关知识的考查►对双曲线相关知识的考查►对抛物线相关知识的考查►对直线与圆锥曲线相关知识的考查►对轨迹问题的考查►考察圆锥曲线中的定值与最值问题►椭圆►双曲线►抛物线►直线与圆锥曲线►轨迹问题►圆锥曲线中的定值与最值问题经典易错题会诊命题角度1对椭圆相关知识的考查1．(典型例题Ⅰ)设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△FlPF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是()12.22.212.22.DCBA[考场错解]A[专家把脉]没有很好地理解椭圆的定义，错误地把||||21PFPF当作离心率．[对症下药]D设椭圆的方程为2222byax=l(a，b0)由题意可设|PF2|=|F1F2|=k，|PF1|=2k，则e=12222kkkac2．(典型例题)设双曲线以椭圆92522yx=1长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为()A．±2B．±34C．±21D．±43[考场错解]D由题意得a=5，b=3，则c=4而双曲线以椭圆92522yx=1长轴的两个端点为焦点，则a=c=4，b=3∴k=43ab[专家把脉]没有很好理解a、b、c的实际意义．[对症下药]C设双曲线方程为2222byax=1，则由题意知c=5，ca2=4则a2=20b2=5，而2a=25b=5∴双曲线渐近线斜率为±ab=213．(典型例题)从集合{1，2，3…，11}中任选两个元素作为椭圆方程2222nymx=1中的m和n，则能组成落在矩形区域B={(x，y)‖x|11，且|y|9}内的椭圆个数为()A．43B．72C．86D．90[考场错解]D由题意得，m、n都有10种可能，但m≠n故椭圆的个数10×10-10=90．[专家把脉]没有注意，x、y的取值不同．[对症下药]B由题意得m有10种可能，n只能从集合11，2，3，4，5，6，7，81中选取，且m≠n，故椭圆的个数：10×8-8=72．4．(典型例题)设直线l与椭圆162522yx=1相交于A、B两点，l又与双曲线x2-y2=1相交于C、D两点，C、D三等分线段AB，求直线l的方程()[考场错解]设直线l的方程为y=kx+b如图所示，l与椭圆，双曲线的交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)、D(x4，y4)，依题意有ABDBAC,=3CD由)1(0)40025(50)2516(1162522222bbkxxkyxbkxy得所以x1+x2=-.2516502kbk由122yxbkxy得(1-k2)x2-2bkx-(b2+1)=0(2)若k=±1，则l与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故k≠±1所以x3+x4=212kbk、由BDACx3-x1=x2-x4x1+x2=x3+x4-2212251650kbkkbkbk=0或b=0①当k=0时，由(1)得x1、2=±21645b由(2)得x3、4=±12b由123xxCDAB=3(x4-x1)即1316161641022bbb故l的方程为y=±1316②当b=0时，由(1)得x1、2=±2251620k，由(2)得x3、4=211k由123xxCDAB=3(x4-x3)即.2516,25161625164022xylkkk的方程为故3综上所述：直线l的方程为：y=xy2516,1316[专家把脉]用斜截式设直线方程时没有注意斜率是否存在，致使造成思维片面，漏解．[对症下药]解法一：首先讨论l不与x轴垂直时的，情况．设直线l的方程为y=kx+b，如图所示，l与椭圆、双曲线的交点为：A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)、D(x4，y4)，依题意有CDABBDAC3,．由.11625,22yxbkxy得(16+25k2)x2+50bkx+(25b2-400)=0．(1)所以x1+x2=-.2516502kbk由.1,22yxbkxy得(1-k2+x2-2bkx-(b2+1)=0．若k=±1，则l与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故k≠±1．所以x3+x4=212kbk由4213xxxxBDACx1+x2=x2+x4001225165022kbkkbkkbk或b=0．①当k=0时，由(1)得.164522,1bx由(2)得x3、4=±12b由3312xxCDAB(x4-x3)．即.131611641022bbb故l的方程为y=±1316②当b=0时，由(1)得x1、2=2251620k自(2)得x3、4=33,11122xxCDABk由(x4-x3)．即.25161625164022kkk故l的方程为y=x2516．再讨论l与x轴垂直时的情况．设直线l的方程为x=c，分别代入椭圆和双曲线方程可解得yl、2=.25542cy3、4=.||3||||3||.134122yyyyCDABc由即.24125,2412516255822xlccc的方程为故综上所述，直线l的方程是：y=2516x、y=±1316和x=241254解法二：设l与椭圆、双曲线的交点为：A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)、D(x4，y4)，则有.4,3.12,1,116252222jyxiyxjjii由i的两个式子相减及j的两个式子相减，得：.0))(())((,0))((25))((163434343412121212yyyyxxxxyyyyxxxx因C、D是AB的三等分点，故CD的中点(x0，y0)与AB的中点重合，且.3CDAB于是x0=,221342xxxxy0=,223412yyyyx2-x1=3(x4-x3)．因此)2().()()1(),(25)(16340340340340yyyxxxyyyxxx若x0y0≠0，则x2=x1x4=x3y4=y3y2=y1．因A、B、C、D互异，故xi≠xj，yi≠yj，这里ij=1，2，3，4且i≠j(1)÷(2)得16=-25，矛盾，所以x0y0=0．①当x0=0，y0≠0时，由(2)得y4=y3≠0，这时l平行x轴．设l的方程为y=b，分别代入椭圆、双曲线方程得：xl、2=,16452bx3、4=.12b∵x2-x1=3(x4-x3)4101316161622bbb．故l的方程为y=±1316②当y0=0，x0≠0，由(2)得x4=x3≠0，这时l平行y轴．设l的方程为x=c，分别代入椭圆、双曲线方程得：yl、2=,25542cy3、4=.12c∵y2-y1=3(y4-y3)2412516255822ccc故l的方程为：24125x③当x0=0，y0=0时，这时l通过坐标原点且不与x轴垂直．设l的方程为y=kx，分别代入椭圆、双曲线方程得：x1、2=.11,25162024,32kxk.2516)(33412kxxxx故l的方程为y=.2516xy综上所述，直线l的方程是：y=x2516、y=1316和x=.241255．(典型例题)设A、B是椭圆3x2+y2=λ上的两点，点N(1，3)是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点．(1)确定A的取值范围，并求直线AB的方程；5(Ⅱ)试判断是否存在这样的A，使得A、B、C、D四点在同一个圆上?并说明理由．(此题不要求在答题卡上画图)[考场错解](1)设A(x1，y1)B(x2，y2)则有:2222212133yxyx(x1-x2)(x1+x2)+(yl-y2)(yl+y2)=0依题意，x1≠x2∴kAB-2121)(3xxyy∵N(1，3)是AB的中点，∴x1+x2=2,yl+y2=6从而kAB=-9又由N(1，3)在椭圆内，∴λ3×12+32=12∴λ的取值范围是(-∞，12)直线AB的方程为y-3=-9(x-1)即9x+y-12=0[专家把脉]①用“差比法”求斜率时kAB=2)(3121yyxx这地方很容易出错．②N(1，3)在椭圆内，λ3×12+32=12应用结论时也易混淆．[对症下药](1)解法1：依题意，可设直线AB的方程为y=A(x-1)+3，代入3x2+y2=λ，整理得(k2+3)x2-2k(k-3)x+(k-3)2-λ=0．①设A(x1，y1)、B(x2、y2)，则x1，x2是方程①的两个不同的根，∴△=4[λ(k2+3)-3(k-3)2]0，②且x1+x2=3)3(22kkk，由N(1，3)是线段AB的中点，得1221xx，∴A(k-3)=k2+3．解得k=-1，代入②得，λ12，即λ的取值范围是(12，+∞)．于是，直线AB的方程为y-3=-(x-1)，即x+y-4=0．解法2：设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有2222212133yxyx(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0依题意，x1≠x2，∴kAB=-2121)(3yyxx∵N(1，3)是AB的中点，∴x1+x2=2，yl+y2=6，从而kAB=-1．又由N(1，3)在椭圆内，∴λ3×12+32=12，∴λ的取值范围是(12，∞)．直线AB的方程为y-3=-(x-1)，即x+y-4=0．(Ⅱ)解法1：∵CD垂直平分AB，∴直线CD的方程为y-3=x-1，即x-y+2=0，代入椭圆方程，整理得4x2+4x+4又设C(x3，y3)，D(x4，y4)，CD的中点为M(x0，y0)，则x3，x4是方程③的两根，∴x3+x4=-1，且x0=21(x3+x4)=-21，y0=x0+2=23，即M(-21，23)．于是由弦长公式可得6|CD|=.)3(2||)1(1432xxk④将直线AB的方程x+y-4=0，代入椭圆方程得4x2-8x+16-λ=0⑤同理可得|AB|=.)12(2||.1212xxk⑥∵当λ12时，)3(2)12(2,∴|AB||CD|假设存在λ12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心．点M到直线AB的距离为d=.2232|42321|2|4|00yx⑦于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得|MA|2=|MB|2=d2+.|2|2321229|2|22CDAB故当λ12时，A、B、C、D四点均在以M为圆心，|2|CD为半径的圆上．(注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：)A、B、C、D共圆△ACD为直角三角形，A为直角|AN|2=|CN|·|DN|，即)2||)(2||()2(2dCDdCDAB.⑧由⑥式知，⑧式左边=212,由④和⑦知，⑧式右边=,212)29232232)3(2)(2232)3(2(∴⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆解法2：由(Ⅰ)解法1及λ12，∵CD垂直平分AB，∴直线CD方程为y-3=x-1，代入椭圆方程，整理得4x2+4x+4-λ=0．③将直线AB的方程x+y-4=0，代入椭圆方程，整理得4x2-8x+16-λ=0．⑤解③和⑤式可得xl，2=.231,21224,3x不妨设A(1+)233,231(),233,231(,12213,1221DC)21233,23123()21233,23123(CACA计算可得0CACA,∴A在以C