正弦余弦函数的性质一

高考网正弦、余弦函数的性质(一)一、情景导入：1．周期函数定义：设函数y=f(x)的定义域为D，若存在常数T≠0，使得对一切x∈D,且x+T∈D时，都有f(x+T)=f(x)成立，则称y=f(x)为D上的周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期．今后的三角函数的周期，如未特别指明，一般都是指它的最小正周期．2．三角函数的周期性，是角的终边位置周期性的变化的反映，这种周期性清晰地表现在三角函数的图像中．正弦函数sinyx、余弦函数cosyx都是周期函数，它们的周期都是2k，kZ，它们的最小正周期都是2．3．函数sin()yAx和cos()yAx(0,0A,,,A是常数)都是周期函数,它们的最小正周期都是2T二、感受理解：1．求下列函数的周期：（）xy31sin；（2）xy52cos；（3）xy4sin4；（4）12cos21xy；（5）)3πsin(xy；（6）35π2cos()26yx．2．观察正弦曲线和余弦曲线，写出满足下列条件的的区间．①②③④3．观察正弦曲线和余弦曲线，你发现它们的图象与x轴交点的坐标有什么规律？４．函数sin,yxxR有sin()sin424能否说2是正弦函数sinyx的周期？5．函数2()fxx是周期函数吗？为什么高考网三、迁移拓展：6．函数sin(2)3yx的最小正周期为（）A．2B．4C．D．27．下列四个函数中为周期函数的是（）A．y=3B．xy3C．sin||yxD．1sin,0yxRxx且8．使sincosxx成立的x的一个区间是（）A．3,44B．,22C．3,44D．0,9．在函数sinyx，sinyx，sin(2)3yx，2cos(2)3yx中，最小正周期为的函数的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．已知函数()sin()103kfxx（其中0k），当自变量x在任何两个整数之间（包括整数本身）变化时，至少会有一个周期，则最小的正整数k是（）A．60B．61C．62D．6311．若()sin6nfn，*nN，则(1)(3)(5)(101)ffff=.12．函数2cos()(0)4yaxa的最小正周期T13．函数sin(2)sin23yxx的最小正周期T．14．若22sincosxx，则x的取值范围是提示：由22sincosxx得sincosxx，再结合函数的图象可求解15．已知周期函数)(xf是奇函数，6是)(xf的一个周期，且1)1(f，则)5(f＝．16．求下列函数的周期：（1）3cosyx（2）sin2yx（3）12sin()23yx高考网．求证：sin2cos2yxx的最小正周期为；提示：依据周期函数定义()()fxTfx证明．18．求函数2sin1yx的定义域．提示：根据正弦曲线在一个周期上找出适合条件1sin2x的区间，然后两边加2k．19．设三角函数f(x)=sin(5kx+3)(k≠0).(1)写出f(x)的最大值M，最小值m和最小正周期T；(2)试求最小正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间(包括整数本身)变化时，函数f(x)至少有一个值是M，一个值是m.20．定义在Ｒ上的函数()fx是奇函数，又是以３为周期的周期函数，且(1)1f，(5)fa，求实数a的取值范围四、实践应用：21．若函数))((Rxxf的图象关于直线ax和)(abbx都对称，试问函数)(xf是否一定是周期函数？若是求出其一个周期；若不是请举出反例．22．设()fx是定义在R上的偶函数，其图象关于1x对称，对任意121,[0,]2xx，都有1212()()()fxxfxfx。（１）设(1)2f，求11(),()24ff（２）证明()fx是周期函数高考网参考答案：1.4.2正弦、余弦函数的性质(一)二、感受理解1．（1）π6（2）π5（3）2π（4）π（5）2π（6）34π．2．①(2,2)kk，②(2,2)kk，③(2,2)22kk④3(2,2)22kk()kZ3．sin0xxk，cos02xxk()kZ4．不能，这个等式虽成立，但不是对定义域的每一个值都使等式sin()sin4xx成立，所以不符合周期函数的定义．5．若是周期函数，则有非零常数T，使()()fxTfx，即22()xTx，化简得(2)0TxT，∴0T，或2Tx（不是常数），故满足定义的非零常数T不存在，因而2yx不是周期函数．三、迁移拓展：6．A7．C8．A9．C10．D11．212．2a13．14．3,44xkxkkZ15．)1()65()5(fff，1)1()1(ff，∴1)1(f，即1)5(f．16．（１）2（２）（３）417．略18．72,266kk，kZ19．(1)M=1,m=-1,T=52k=k10.(2)f(x)在它的每一个周期中都恰好有一个值是M与一个值是m，而任意两个整数间的距离都≥1，因此要使任意两个整数间函数f(x)至少有一个值是M与一个值m，必须且只须f(x)的周期≤1，即k10≤1,｜k｜≥10π=31.4,可见，k=32就是这样的最小整数.20．由于函数()fx是奇函数，(1)1f，则(1)1f，即(1)1f(5)(132)(1)fff，得1a高考网四、实践应用：21．一定是周期函数，)(2ab是其一个周期．()fx的图象关于直线ax和xb对称，则()()faxfax，()()fbxfbx则2()((2)((2)fxbafbxbafbxba(2)()()()faxfaaxfaaxfx22．(1)211111(1)()()()[()]22222fffff得121()22f2111111()()()()[()]244444fffff得141()24f（２）依题意，设()yfx关于直线1x对称，有()(11)fxfx即()(2)fxfx又()fx为偶函数，有()(),fxfxxR()(2),fxfxxR将式中的x以x代换，有()(2),fxfxxR()fx是R上的周期函数，且2是它的周期。