每周一练万有引力和天体运动

中国权威高考信息资源门户万有引力和天体运动第一天太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动．当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”．据报道，2014年各行星冲日时间分别是：1月6日木星冲日；4月9日火星冲日；5月11日土星冲日；8月29日海王星冲日；10月8日天王星冲日．已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示，则下列判断正确的是()地球火星木星土星天王星海王星轨道半径(AU)1.01.55.29.51930A.各地外行星每年都会出现冲日现象B．在2015年内一定会出现木星冲日C．天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半D．地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短答案与解析：BD[解析]本题考查万有引力知识，开普勒行星第三定律，天体追及问题．因为冲日现象实质上是角速度大的天体转过的弧度恰好比角速度小的天体多出2π，所以不可能每年都出现(A选项)．由开普勒行星第三定律有T2木T2地＝r3木r3地＝140.608，周期的近似比值为12，故木星的周期为12年，由曲线运动追及公式2πT1t－2πT2t＝2nπ，将n＝1代入可得t＝1211年，为木星两次冲日的时间间隔，所以2015年能看到木星冲日现象，B正确．同理可算出天王星相邻两次冲日的时间间隔为1.01年．土星两次冲日的时间间隔为1.03年．海王星两次冲日的时间间隔为1.006年，由此可知C错误，D正确．练习：长期以来“卡戎星(Charon)”被认为是冥王星唯一的卫星，它的公转轨道半径r1＝19600km，公转周期T1＝6.39天.2006年3月，天文学家新发现两颗冥王星的小卫星，其中一颗的公转轨道半径r2＝48000km，则它的公转周期T2最接近于()A．15天B．25天C．35天D．45天答案与解析：B[解析]本题考查开普勒第三定律、万有引力定律等知识．根据开普勒第三定律r31T21＝r32T22，代入数据计算可得T2约等于25天．选项B正确．中国权威高考信息资源门户第二天假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G.地球的密度为()A.3πGT2g0－gg0B.3πGT2g0g0－gC.3πGT2D.3πGT2g0g答案与解析：B[解析]在两极物体所受的重力等于万有引力，即GMmR2＝mg0，在赤道处的物体做圆周运动的周期等于地球的自转周期T，则GMmR2－mg＝m4π2T2R，则密度ρ＝3M4πR3＝34πR3g0R2G＝3πg0GT2（g0－g）.B正确．练习：在科学研究中，科学家常将未知现象同已知现象进行比较，找出其共同点，进一步推测未知现象的特性和规律．法国物理学家库仑在研究异种电荷的吸引力问题时，曾将扭秤的振动周期与电荷间距离的关系类比单摆的振动周期与摆球到地心距离的关系．已知单摆摆长为l，引力常量为G，地球质量为M，摆球到地心的距离为r，则单摆振动周期T与距离r的关系式为()A．T＝2πrGMlB．T＝2πrlGMC．T＝2πrGMlD．T＝2πlrGM答案与解析：B[解析]本题考查单摆周期公式、万有引力定律与类比的方法，考查推理能力．在地球表面有GMmr2＝mg，解得g＝GMmr2.单摆的周期T＝2π·lg＝2πrlGM，选项B正确．第三天如图13所示，飞行器P绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为θ，下列说法正确的是()A．轨道半径越大，周期越长B．轨道半径越大，速度越大C．若测得周期和张角，可得到星球的平均密度D．若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度中国权威高考信息资源门户答案与解析：AC[解析]根据GMmR2＝mR4π2T2，可知半径越大则周期越大，故选项A正确；根据GMmR2＝mv2R，可知轨道半径越大则环绕速度越小，故选项B错误；若测得周期T，则有M＝4π2R3GT2，如果知道张角θ，则该星球半径为r＝Rsinθ2，所以M＝4π2R3GT2＝43π(Rsinθ2)3ρ，可得到星球的平均密度，故选项C正确，而选项D无法计算星球半径，则无法求出星球的平均密度，选项D错误．练习：研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时．假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比()A．距地面的高度变大B．向心加速度变大C．线速度变大D．角速度变大答案与解析：A[解析]本题考查万有引力和同步卫星的有关知识点，根据卫星运行的特点“高轨、低速、长周期”可知周期延长时，轨道高度变大，线速度、角速度、向心加速度变小，A正确，B、C、D错误．第四天已知地球的质量约为火星质量的10倍，地球的半径约为火星半径的2倍，则航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的速率约为()A．3.5km/sB．5.0km/sC．17.7km/sD．35.2km/s答案与解析：A[解析]航天器在火星表面附近做圆周运动所需的向心力是由万有引力提供的，由GMmR2＝mv2R知v＝GMR，当航天器在地球表面附近绕地球做圆周运动时有v地＝7.9km/s，v火v地＝GM火R火GM地R地＝M火M地·R地R火＝55，故v火＝55v地＝55×7.9km/s≈3.5km/s，则A正确．练习：动能相等的两人造地球卫星A、B的轨道半径之比:1:2ABRR，它们的角速度之比中国权威高考信息资源门户，质量之比:ABmm。答案与解析22：1；1：2[解析]根据GMmR2＝mω2R得出ω＝3RGM,则ωA:ωB＝3ARGM：3BRGM＝22：1；又因动能EK＝12mv2相等以及v=ωR,得出mA:mB＝2222AABBRR＝1：2第五天题7图为“嫦娥三号”探测器在月球上着陆最后阶段的示意图，首先在发动机作用下，探测器受到推力在距月球表面高度为h1处悬停(速度为0，h1远小于月球半径)；接着推力改变，探测器开始竖直下降，到达距月面高度为h2处的速度为v；此后发动机关闭，探测器仅受重力下落到月面，已知探测器总质量为m(不包括燃料)，地球和月球的半径比为k1，质量比为k2，地球表面附近的重力加速度为g，求：题7图(1)月球表面附近的重力加速度大小及探测器刚接触月面时的速度大小；(2)从开始竖直下降到刚接触月面时，探测器机械能的变化．答案与解析：(1)k21k2gv2＋2k21gh2k2(2)12mv2－k21k2mg(h1－h2)本题利用探测器的落地过程将万有引力定律，重力加速度概念，匀变速直线运动，机械能等的概念融合在一起考查．设计概念比较多，需要认真审题．[解析](1)设地球质量和半径分别为M和R，月球的质量、半径和表面附近的重力加速度分别为M′、R′和g′，探测器刚接触月面时的速度大小为vt.由mg′＝GM′mR′2和mg＝GMmR2得g′＝k21k2g由v2t－v2＝2g′h2得vt＝v2＋2k21gh2k2(2)设机械能变化量为ΔE，动能变化量为ΔEk，重力势能变化量为ΔEp.由ΔE＝ΔEk＋ΔEp中国权威高考信息资源门户＝12m(v2＋2k21gh2k2)－mk21k2gh1得ΔE＝12mv2－k21k2mg(h1－h2)练习：2013年我国相继完成“神十”与“天宫”对接、“嫦娥”携“玉兔”落月两大航天工程．某航天爱好者提出“玉兔”回家的设想：如图所示，将携带“玉兔”的返回系统由月球表面发射到h高度的轨道上，与在该轨道绕月球做圆周运动的飞船对接，然后由飞船送“玉兔”返回地球．设“玉兔”质量为m，月球半径为R，月面的重力加速度为g月．以月面为零势能面，“玉兔”在h高度的引力势能可表示为Ep＝GMmhR（R＋h），其中G为引力常量，M为月球质量．若忽略月球的自转，从开始发射到对接完成需要对“玉兔”做的功为()A.mg月RR＋h(h＋2R)B.mg月RR＋h(h＋2R)C.mg月RR＋hh＋22RD.mg月RR＋hh＋12R答案与解析：D[解析]本题以月面为零势面，开始发射时，“玉兔”的机械能为零，对接完成时，“玉兔”的动能和重力势能都不为零，该过程对“玉兔”做的功等于“玉兔”机械能的增加．忽略月球的自转，月球表面上，“玉兔”所受重力等于地球对“玉兔”的引力，即GMmR2＝mg月，对于在h高处的“玉兔”，月球对其的万有引力提供向心力，即GMm（R＋h）2＝mv2R＋h，“玉兔”的动能Ek＝12mv2，由以上可得，Ek＝g月R2m2（R＋h）.对“玉兔”做的功W＝Ek＋Ep＝mg月RR＋hh＋12R.选项D正确．第六天万有引力定律揭示了天体运行规律与地上物体运动规律具有内在的一致性．(1)用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果．已知地球质量为M，自转周期为T，万有引力常量为G.将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响．设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是F0.a.若在北极上空高出地面h处称量，弹簧秤读数为F1，求比值F1F0的表达式，并就h＝1.0%R中国权威高考信息资源门户的情形算出具体数值(计算结果保留两位有效数字)；b.若在赤道地面称量，弹簧秤读数为F2，求比值F2F0的表达式．(2)设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径r、太阳的半径Rs和地球的半径R三者均减小为现在的1.0%，而太阳和地球的密度均匀且不变．仅考虑太阳和地球之间的相互作用，以现实地球的1年为标准，计算“设想地球”的1年将变为多长．答案与解析[答案](1)a.F1F0＝R2（R＋h）20.98b．F2F0＝1－4π2R3GMT2(2)1年[解析](1)设小物体质量为m.a．在北极地面GMmR2＝F0在北极上空高出地面h处GMm（R＋h）2＝F1F1F0＝R2（R＋h）2当h＝1.0%R时F1F0＝11.012≈0.98.b．在赤道地面，小物体随地球自转做匀速圆周运动，受到万有引力和弹簧秤的作用力，有GMmR2－F2＝m4π2T2R得F2F0＝1－4π2R3GMT2.(2)地球绕太阳做匀速圆周运动，受到太阳的万有引力，设太阳质量为MS，地球质量为M，地球公转周期为TE，有GMSMr2＝Mr4π2T2E得TE＝4π2r3GMS＝3πr3GρR3S.其中ρ为太阳的密度．由上式可知，地球公转周期TE仅与太阳的密度、地球公转轨道半径与太阳半径之比有关．因此“设想地球”的1年与现实地球的1年时间相同．中国权威高考信息资源门户练习：已知地球的自转周期和半径分别为T和R，地球同步卫星A的圆轨道半径为h，卫星B沿半径为r(r＜h)的圆轨道在地球赤道的正上方运行，其运行方向与地球自转方向相同．求：(1)卫星B做圆周运动的周期；(2)卫星A和B连续地不能直接通讯的最长时间间隔(信号传输时间可忽略)．答案与解析：[答案](1)rh32T(2)r32π（h32－r32）(arcsinRh＋arcsinRr)T[解析](1)设卫星B绕地心转动的周期为T′，根据万有引力定律和圆周运动的规律有GMmh2＝m2πT2h①GMm′r2＝m′2πT′2r②式中，G为引力常量，M为地球质量，m、m′分别为卫星A、B的质量．由①②式得T′＝rh32T③(2)设卫星A和B连续地不能直接通讯的最长时间间隔为τ；在此时间间隔τ内，卫星A和B绕地心转动的角度分别为α和α′，则α＝τT2π④α′＝τT′2π⑤若不考虑卫星A的公转，两卫星不能直接通讯时，卫星B的位置应在图中B点和B′点之间，图中内圆表示地球的赤道．由几何关系得∠BOB′＝2arcsinRh＋arcsinRr⑥由③式知，当r＜h时，卫星B比卫星A转得快，考虑卫星A的公转后应有α′－α＝∠BOB′⑦由③④⑤⑥⑦式得τ＝r32π（h32－r3