求是杯数学竞赛七

杭州市第七届“求是杯”中学生数学竞赛高二年级试卷(时间:95年4月2日上午8:30-10:30)一.选择题(每小题3分,共30分)1.实数,满足|coscos||cos||cos|,且(,)2,那么()12cos()cos()coscos可化为(A)cos-cos(B)|cos|-|cos|(C)cos-cos(D)|cos|-|cos|2.长方体的全面积为11,十二条棱的和为24,那么这个长方体的一条对角线的长是()(A)23(B)14(C)5(D)63.若aab20,且Mbablog,Nabalog,Pablog,Qbalog那么M,N,P,Q这四个数的大小关系是()(A)MQPN(B)MPQN(C)QMPN(D)PMQN4.方程log()334xx的根的情况是()(A)有两个正根(B)有两个负根(C)仅有一个根(D)有一个正根和一个负根5.已知函数fxxaxb()()221在区间(1,)内是单调递增函数,那么实数a的取值范围是()(A)a2(B)a2(C)a0(D)a06.若关于x的不等式xaxa260有解,且解的区间长不超过5个单位,那么a的取值范围是()(A)251a或a24(B)a25或a1(C)250a或124a(D)2524a或01a7.已知函数fx()的最小正周期是10,且等式fxfx()()55对一切实数x成立,那么fx()()(A)是奇函数,但不是偶函数.(B)是偶函数,但不是奇函数.(C)既是奇函数,又是偶函数.(D)既不是奇函数,又不是偶函数.8.在等差数列{}an中,记Saaaann123(n=1,2,3,…,),若S160,S170,那么在SSSS12317,,,,中,最大值为()(A)S7(B)S8(C)S9(D)S109.已知真命题abcd和abef,那么cd是ef的()(A)必要非充分条件(B)充分非必要条件(C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件10.称坐标平面内纵.横坐标都是整数的点为格点,那么抛物线yxx1512()所通过的格点有()(A)0个(B)1个(C)2个(D)2个以上二.填空题(每小题4分,共40分)11.如果三角形的三个顶点分别是O(0,0),A(0,15),B(-8,0,那么它的内切圆方程是____________________.12.方程arccos2x-3arcsin2x=56的解集是________________.13.设圆C的方程为xyxy222220,直线l的方程为(),kxky110那么对任意实数k,圆C与直线l的位置关系是_________.14.在数列{an}中,a130,且aanNnn13(),那么这个数列的前12项的绝对值之和是___________.15.在三棱台ABCABC111中,已知AA1底面ABC,AAABBCa11111,BBBC1,且B1B和底面ABC所成的角是45,那么这个棱台的体积是__________.16.设函数,432)(xxxfdcxbaxxg)((),adbc0若对一切x有xxgf)]([那么gx()=______________.17.设函数arctgxy的图象沿x轴正方向平移3个单位所得的图象为C,又设图象C'与C关于原点对称,那么C'所对应的函数解析式是_________.18.设x的不等式)(log)212(log2xaxaa的解集为A,关于x的方程tg(nx+)=tg的解集为B,且},1{BA那么实数a的取值范围是___________.19.已知sinA+sinB+sinC=cosA+cosB+cosC=0,那么sin2A+sin2B+sin2C=______.20.已知x,y0,x+y=,且0,,k是给定的常数,记S=sin2x+sin2y+2ksinxsiny,那么S的最大值是_____________.三.解答题(每小题20分,共60分)21.已知实系数二次方程xpxq20,xrxs20都有实根,且按大小顺序排列每个方程都有一个根在另一方程的二根之间,试求证:()()()qsprpsqr2022.已知一个轴截面的顶角为的圆锥及其内切球,另有一圆柱外切于该球,这个圆柱的底在圆锥的底面上,且圆锥体积与圆柱体积之比为4:3,试求sin。23.对任意正整数k,定义fk1()为k的数字之和的平方,(如f112()=(1+2)2=9),并令fkffknn11()[()],求f198519862()的值