求是杯数学竞赛八

杭州市第八届“求是杯”中学生数学竞赛高二年级试题卷(时间:96年4月7日上午8:30～10:30)一、选择题（每小题3分，共30分）1、已知tg342,(,),那么sincos的值等于(A)15(B)15(C)15(D)752、若无穷递缩等比数列中的任何一项都等于该项以后所有项的和，那么此等比数列的公比是（）(A)12(B)14(C)14(D)123、在[,]132上与yx相同的函数是(A)yxarccos(cos)(B)yxarcsin(sin)(C)yxsin(arcsin)(D)yxcos(arccos)4、银行三年定期的利率为q，一年定期的利率为，一年后取出将本息再存入一年定期，这样三年后取出的本息与存三年定期取出的本息相比较，还是一年一年的存合适，那么q值应小于(A)()113(B)()13(C)()13(D)35、若loglogxy34340,那么下列各式成立的是(A)xy1313(B)()133xyxy(C)()13311xy(D)()13311xy6、函数fxxbxc()2满足fxfx()()11,且f()03,那么fbx()与fcx()的大小关系是(A)fbfcxx()()(B)fbfcxx()()(C)fbfcxx()()(D)大小随x在不同的区间而纰改变7、在等差数列{}an中，它的前n项和记作Sn,若SS181900,那么Sn的最大值为(A)S8(B)S9(C)S10(D)S118、半径为4的球面上有三点A、B、C，若其中任意两点的球面距离均为2，那么过A、B、C三点的截面圆将球面分成较大的球冠和较小的球冠的面积之比为(A)31(B)32(C)526(D)112309、已知fx()是定义域为R的偶函数，若fx()的最小正周期是2，且当x[,]12时fx()=xx221,那么fx()在[0,1]上的表达式是(A)xx221(B)xx221(C)xx267(D)xx26710、一个长方体的表面积是222cm，体积是83cm，那么这样的长方体(A)有一个(B)有两个(C)有无数多个(D)不存在二、填空题（每小题4分，共40分）11、P、Q、R是棱长为1的正方体ABCDABCD1111的棱ABBBBC11111,,上的点，且有31111RBQBPB,那么四面体DPQR的体积是________.12、在等差数列{}an中，已知aaaaaannn123121578,,且前n项和Sn=155那么n=_______.13、已知tg1222(),那么sinsincos()222的值是_______.14、正四面体的棱长为a，那么其内切球的全面积为________.15、已知两个等差数列{}an和{}bn中,若abab1144,,那么aabb9381=_______.16、已知函数fx()的图象与gxx()()12的图象关于直线yx对称，那么函数fxx()22的单调递增区间是_____________.17、已知cos(),sin()219223,且4244,,那么cos()________.18、空间三条射线OA、OB、OC满足AOCCOBBOA3,那么以OA为棱的二面角B-OA-C的余弦值为_____.19、已知fxxxx()(),()4022,那么fx()的最大值为______.20、已知a0,且a1,那么不等式1411214log()log()aaxx的解集是________.三、解答题（前两小题15分，后一小题20分，共50分）21、已知ABCD为正四面体，P,Q分别为它的二个面ABC与ACD内的任意二个点(如图)，试证：PAQ60A22、已知四次方程xxkxx432256199419960的四个实根中有二个根之积等于499，求k的值。23、设有函数列fxx1275(),fxxfx221152()(),……,fxxfxnn()()21152,……,求方程fxx19962()的一切实数解。BCDPQ