江苏省南通市海安县高三期末数学试卷

高考帮——帮你实现大学梦想！1/202015-2016学年江苏省南通市海安县高三（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．设集合A={x|x＞1}，B={x|x2＜9}，则A∩B=．2．设a，b∈R，i为虚数单位，若（a+bi）•i=2﹣5i，则ab的值为．3．在平面直角坐标系xOy，已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个渐近线的方程为y=x，则该双曲线的离心率为．4．已知一组数据9.8，10.1，10，10.2，9.9，那么这组数据的方差为．5．如图是一个算法流程图，运行后输出的结果是．6．若函数是偶函数，则实数a的值为．7．正四棱锥的底面边长为2cm，侧面与底面所成二面角的大小为60°，则该四棱锥的侧面积为cm2．8．将函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移2个单位后得到的函数图象关于原点对称，则实数φ的值为．9．二次函数y=f（x）=ax2+bx+c（x∈R）的部分对应如表：x﹣4﹣3﹣2﹣10123y60﹣4﹣6﹣6﹣406则关于x的不等式f（x）≤0的解集为．10．在正五边形ABCDE中，已知•=9，则该正五边形的对角线的长为．11．用大小完全相同的黑、白两种颜色的正六边形积木拼成如图所示的图案，按此规律再拼5个图案，并将这8个图案中的所有正六边形积木充分混合后装进一个盒子中，现从盒子中随机取出一个积木，则取出黑色积木的概率是．高考帮——帮你实现大学梦想！2/2012．若函数f（x）=的最小值为f（0），则实数a的取值范围是．13．在平面直角坐标系xOy中，已知点P（﹣1，0），Q（2，1），直线l：ax+by+c=0，其中实数a，b，c成等差数列，若点P在直线l上的射影为H，则线段QH的取值范围是．14．在平面直角坐标系xOy中，将函数y=﹣（x∈[0，2]）的图象绕坐标原点O按逆时针方向旋转角θ，若∀θ∈[0，a]，旋转后所得的曲线都是某个函数的图象，则a的最大值为．二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.15．已知θ∈（，），sin（θ﹣）=．（1）求sinθ的值；（2）求cos（2θ+）的值．16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1．17．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为2．（1）若椭圆C经过点（，1），求椭圆C的标准方程；高考帮——帮你实现大学梦想！3/20（2）设A（﹣2，0），F为椭圆C的左焦点，若椭圆C上存在点P，满足=，求椭圆C的离心率的取值范围．18．如图，扇形AOB是一个植物园的平面示意图，其中∠AOB=，半径OA=OB=1km，为了便于游客观赏，拟在圆内铺设一条从入口A到出口B的观赏道路，道路由弧，线段CD，线段DE和弧组成，且满足：=，CD∥AO．DE∥OB，OD∈[，]（单位：km），设∠AOC=θ．（1）用θ表示CD的长度，并求出θ的取值范围；（2）当θ为何值时，观赏道路最长？19．已知公差不为0的等差数列{an}的首项为1，前n项和为Sn，且数列{}是等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设lgbn=（n∈N*），问：b1，bk，bm（k，m均为正整数，且1＜k＜m）能否成等比数列？若能，求出所有的k和m的值；若不能，请说明理由．20．设a为正实数，函数f（x）=ax，g（x）=lnx．（1）求函数h（x）=f（x）•g（x）的极值；（2）证明：∃x0∈R，使得当x＞x0时，f（x）＞g（x）恒成立．四、选做题从21-24题中任选2个小题，每小题10分，共20分21．如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交BA的延长线于点C，若DB=DC，求证：CA=AO．22．已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B．23．已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，求圆心的极坐标．24．设a，b是非负实数，求证：a3+b3≥（a2+b2）．高考帮——帮你实现大学梦想！4/2025．一批产品共10件，其中3件是不合格品，用下列两种不同方式从中随机抽取2件产品检验：方式一：一次性随机抽取2件；方式二：先随机抽取1件，放回后再随机抽取1件；记抽取的不合格产品数为ξ．（1）分别求两种抽取方式下ξ的概率分布；（2）比较两种抽取方式抽到的不合格品平均数的大小？并说明理由．26．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2=4x，设点A（﹣t，0），B（t，0）（t＞0），过点B的直线与抛物线C交于P，Q两点，（P在Q的上方）．（1）若t=1，直线PQ的倾斜角为，求直线PA的斜率；（2）求证：∠PAO=∠QAO．高考帮——帮你实现大学梦想！5/202015-2016学年江苏省南通市海安县高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．设集合A={x|x＞1}，B={x|x2＜9}，则A∩B={x|1＜x＜3}．【考点】交集及其运算．【分析】利用交集的性质和不等式的性质求解．【解答】解：∵集合A={x|x＞1}，集合B={x|x2＜9}={x|﹣3＜x＜3}，∴集合A∩B={x|1＜x＜3}．故答案为：{x|1＜x＜3}．2．设a，b∈R，i为虚数单位，若（a+bi）•i=2﹣5i，则ab的值为10．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由（a+bi）•i=2﹣5i，得﹣b+ai=2﹣5i，即可求出a、b的值，则答案可求．【解答】解：由（a+bi）•i=2﹣5i，得﹣b+ai=2﹣5i，即a=﹣5，b=﹣2．则ab=﹣5×（﹣2）=10．故答案为：10．3．在平面直角坐标系xOy，已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个渐近线的方程为y=x，则该双曲线的离心率为2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程y=±x，由题意可得b=a，由a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，由一条渐近线的方程为y=x，可得b=a，即有c==2a，即有e==2．故答案为：2．高考帮——帮你实现大学梦想！6/204．已知一组数据9.8，10.1，10，10.2，9.9，那么这组数据的方差为0.02．【考点】极差、方差与标准差．【分析】先计算数据的平均数，代入方差公式，可得答案．【解答】解：9.8，10.1，10，10.2，9.9的平均数为10，故方差s2=[（9.8﹣10）2+（10.1﹣10）2+（10﹣10）2+（10.2﹣10）2+（9.9﹣10）2]=0.02，故答案为：0.025．如图是一个算法流程图，运行后输出的结果是25．【考点】程序框图．【分析】按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，并判断每一次得到的结果是否满足判断框中的条件，直到满足条件，执行输出．【解答】解：经过第一次循环得到结果为s=1，n=3，此时满足判断框的条件经过第二次循环得到结果为s=4，n=5，此时满足判断框的条件经过第三次循环得到结果为s=9，n=7，此时满足判断框的条件经过第四次循环得到结果为s=16，n=9，此时满足判断框的条件，经过第四次循环得到结果为s=25，i=11，此时不满足判断框的条件，执行输出s，即输出25，故答案为：25．6．若函数是偶函数，则实数a的值为﹣．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】由题意可得，f（﹣）=f（），从而可求得实数a的值．【解答】解：∵f（x）=asin（x+）+sin（x﹣）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴f（﹣）=f（），即﹣=a，∴a=﹣．故答案为：﹣．高考帮——帮你实现大学梦想！7/207．正四棱锥的底面边长为2cm，侧面与底面所成二面角的大小为60°，则该四棱锥的侧面积为8cm2．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】在正四棱锥V﹣ABCD中，底面正方形ABCD边长为2cm，侧面VAB与底面ABCD所成二面角的大小为60°，过V作平面ABC的垂线VO，交平面ABC于O点，过O作OE⊥AB，交AB于E，连结VE，则∠VEO是二面角V﹣AB﹣C的平面角，由此示出VE=2，由此能求出该四棱锥的侧面积．【解答】解：如图，在正四棱锥V﹣ABCD中，底面正方形ABCD边长为2cm，侧面VAB与底面ABCD所成二面角的大小为60°，过V作平面ABC的垂线VO，交平面ABC于O点，过O作OE⊥AB，交AB于E，连结VE，则∠VEO是二面角V﹣AB﹣C的平面角，∴∠VEO=60°，∵OE=AE=BE=1，∴VE==2，∴cos=，∴该四棱锥的侧面积S=4×（）=8．故答案为：8．8．将函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移2个单位后得到的函数图象关于原点对称，则实数φ的值为4﹣π．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移2个单位后，得到y=sin[2（x﹣2）+φ]=sin（2x﹣4+φ）的图象，再根据得到的函数图象关于原点对称，∴﹣4+φ=kπ，k∈Z，则实数φ的值为4﹣π，故答案为：4﹣π．高考帮——帮你实现大学梦想！8/209．二次函数y=f（x）=ax2+bx+c（x∈R）的部分对应如表：x﹣4﹣3﹣2﹣10123y60﹣4﹣6﹣6﹣406则关于x的不等式f（x）≤0的解集为[﹣3，2]．【考点】二次函数的性质．【分析】由表中数据可看出f（x）过点（﹣3，0），（0，﹣6），（2，0），将这三点的坐标分别带入f（x）便可得出关于a，b，c的方程组，可解出a，b，c的值，从而可以解一元二次不等式f（x）≤0，这样即可得出该不等式的解集．【解答】解：根据条件知，f（x）过点（﹣3，0），（0，﹣6），（2，0）；∴；解得；∴f（x）=x2+x﹣6；∴解x2+x﹣6≤0得，﹣3≤x≤2；∴f（x）≤0的解集为[﹣3，2]．故答案为：[﹣3，2]．10．在正五边形ABCDE中，已知•=9，则该正五边形的对角线的长为3．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设该正五边形的边长为x，由于•=9，可得x•2xcos36°•cos36°=9，即可得出该正五边形的对角线的长2xcos36°．【解答】解：设该正五边形的边长为x，∵•=9，∴x•2xcos36°•cos36°=9，∴x=，∴该正五边形的对角线的长2xcos36°=．故答案为：3．11．用大小完全相同的黑、白两种颜色的正六边形积木拼成如图所示的图案，按此规律再拼5个图案，并将这8个图案中的所有正六边形积木充分混合后装进一个盒子中，现从盒子中高考帮——帮你实现大学梦想！9/20随机取出一个积木，则取出黑色积木的概率是．【考点】归纳推理．【分析】由图形可知各图形中的黑色积木和白色积木分别成等差数列，求出积木总个数，使用古典概型的概率计算公式计算概率．【解答】解：由图可知第1个图形由1个黑色积木，6个白色积木，第二个图形有2个黑色积木，10个白色积木，第三个图形有3个黑色积木，14个白色积木，依此类推，故图形中的黑色积木数组成一个等差数列，公差为1，白色积木数组成一个等差数列，公差为4．从而前8个图形共有黑色积木个数为8×1+=36，共有白色积木个数为8×6+=160．∴取出黑色积木的概率P==．故答案为．12．若函数f（x）=的最小值为f（0），则实数a的取值范围是[0，3]．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】若f（0）为f（x）的最小值，则当x≤0时，函数f（x）=（x﹣a）2为减函数，当x＞0时，求出函数f（x）的最小值f（1）≥f（0），进而得到实数a的取值范围．【解答】解：若f（0）为f（x）的最小值，则当x≤0时，函数f（x）=（x﹣a）2为减函数，故a≥0；当x＞0时，f′