江西省上饶市20182019学年高二下学期期末数学理试题

上饶市2018-2019学年度下学期期末教学质量测试高二数学(理科)试题卷命题人:席米有舒宾川董乐华注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮檫干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效4.本试卷共22题，总分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷(选择题)一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．复数z=1−𝑖1+𝑖，则|z|＝（▲）A．0B．12C．1D．√22．已知命题p：∀x∈R，x2+2x﹣3＜0，则命题p的否定￢p为（▲）A．∃x0∈R，x02+2x0﹣3≥0B．∀x∈R，x2+2x﹣3≥0．∃x0∈R，x02+2x0﹣3＜0D．∀x∈R，x2+2x﹣3＜03．空间直角坐标系中，点A（10，4，﹣2）关于点M（0，3，﹣5）的对称点的坐标是（▲）A．（﹣10，2，8）B．（﹣10，2，﹣8）C．（5，2，﹣8）D．（﹣10，3，﹣8）4．函数f（x）＝ex+1在点（0，f（0））处的切线方程为（▲）A．y＝x﹣1B．y＝2x+2C.y＝2x﹣1D．y＝x+25．△ABC的两个顶点为A（﹣4，0），B（4，0），△ABC周长为18，则C点轨迹为（▲）A．𝑥225+𝑦29=1（y≠0）B．𝑦225+𝑥29=1（y≠0）座位号C．𝑥216+𝑦29=1（y≠0）D．𝑦216+𝑥29=1（y≠0）6．计算：∫2−2(2𝑥+2)𝑑𝑥=（▲）A．﹣1B．1C．﹣8D．87．观察下列等式，13+23＝32，13+23+33＝62，13+23+33+43＝102根据上述规律，13+23+33+43+53+63＝（▲）A．192B．202C．212D．2228．已知点F是抛物线x2＝4y的焦点，点P为抛物线上的任意一点，M（1，2）为平面上点，则|PM|+|PF|的最小值为（▲）A．3B．2C．4D．2√39．若函数f（x）＝x2+𝑎𝑥+lnx在x＝1处取得极小值，则f（x）的最小值为（▲）A．3B．4C．5D．610．在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝2，AC＝2√2，PB⊥面ABC，M，N，Q分别为AC，PB，AB的中点，MN=√3，则异面直线PQ与MN所成角的余弦值为（▲）A．√105B．√155C．35D．4511．已知双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），以线段F1F2为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P，若直线PF2与圆E：（x−𝑐2）2+y2=𝑏216相切，则双曲线的渐近线方程是（▲）A．y＝±xB．y＝±2xC．y＝±√3xD．y＝±√2x12．已知函数f（x）＝2x﹣ln（2x+2），g（x）＝e2x﹣a+4ea﹣2x，其中e为自然对数的底数，若存在实数x0使得f（x0）+g（x0）＝3，则实数a的值为（▲）A．﹣ln2B．ln2C．﹣1﹣ln2D．﹣1+ln2第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，共20分。13．函数f（x）＝|x﹣2|﹣|x﹣3|的最大值为▲．14．函数f（x）＝x﹣lnx的单调递增区间是▲．15．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，点G，E，D分别是棱A1B1，CC1，AC的中点，点F是棱AB上的点．若𝐺𝐷→⋅𝐸𝐹→=−1，则线段DF的长度为▲．16．已知A，B是过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线与抛物线的交点，O是坐标原点，且满足𝐴𝐵→=3𝐹𝐵→，𝑆△𝑂𝐴𝐵=2√23|𝐴𝐵|，则|AB|的值为▲．三、解答题，共70分.17．（本题10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{𝑥=−1−√22𝑡𝑦=2+√22𝑡，（t为参数），以坐标原点为极点x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝sinθ．（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，P（﹣1，2），求|PA|•|PB|．18．（本题12分）设函数f（x）＝|x+1|+|x﹣a|．（1）当a＝1时，解不等式f（x）≤4（2）若关于x的不等式f（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围．19．（本题12分）若函数f（x）＝ax3﹣bx+4，当x＝2时，函数f（x）有极值为−43，（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）＝k有3个解，求实数k的取值范围．20．（本题12分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=𝜋3，侧面△ADP为等腰直角三角形，PA＝PD，点E为棱AD的中点．（1）求证：面PEB⊥面ABCD；（2）若AB＝PB＝2，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．21．（本题12分）已知椭圆E：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1（a＞b＞0）的离心率为√22，F1，F2分别是它的左、右焦点，|F1F2|＝2．（1）求椭圆E的方程；（2）过椭圆E的上顶点A作斜率为k1，k2的两条直线AB，AC，两直线分别与椭圆交于B，C两点，当k1k2＝﹣1时，直线BC是否过定点？若是求出该定点，若不是请说明理由．22．（本题12分）已知函数f（x）＝（ax+1）ex，a∈R（1）当a＝1时，求函数f（x）的最小值．（2）当a=−12时，对于两个不相等的实数x1，x2，有f（x1）＝f（x2），求证：x1+x2＜2．1.C．2.A．3.B．4.D5.A．6.D7C8.A9.B10.B11.D12.C13.114.（1，+∞）．15..√2．16.9．17．（1）直线l的参数方程为{𝑥=−1−√22𝑡𝑦=2+√22𝑡，（t为参数），转换为直角坐标方程为：x+y﹣1＝0．曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝sinθ．转化内直角坐标方程为：y＝x2，（2）把直线l的参数方程为{𝑥=−1−√22𝑡𝑦=2+√22𝑡，（t为参数），代入y＝x2，得到：𝑡2+√2𝑡−2=0（t1和t2为A、B对应的参数），所以：t1•t2＝﹣2，则：|PA|•|PB|＝|t1•t2|＝2．18．（1）f（x）≤4即为|x+1|+|x﹣1|≤4，当x≤﹣1时，﹣x﹣1+1﹣x≤4，解得﹣2≤x≤﹣1；当﹣1＜x＜1时，x+1+1﹣x≤4，可得﹣1＜x＜1；当x≥1时，x+1+x﹣1≤4，解得1≤x≤2，综上可得原不等式的解集为[﹣2，2]；（2）关于x的不等式f（x）≥1恒成立，即为|x+1|+|x﹣a|≥1恒成立，由|x+1|+|x﹣a|≥|（x+1）﹣（x﹣a）|＝|a+1|，可得|a+1|≥1，解得a≥0或a≤﹣2．19．（Ⅰ）f′（x）＝3ax2﹣b由题意；{𝑓′(2)=12𝑎−𝑏𝑓(2)=8𝑎−2𝑏+4=−43，解得{𝑎=13𝑏=4，∴所求的解析式为𝑓(𝑥)=13𝑥3−4𝑥+4（Ⅱ）由（1）可得f′（x）＝x2﹣4＝（x﹣2）（x+2）令f′（x）＝0，得x＝2或x＝﹣2，∴当x＜﹣2时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0因此，当x＝﹣2时，f（x）有极大值283，当x＝2时，f（x）有极小值−43，∴函数𝑓(𝑥)=13𝑥3−4𝑥+4的图象大致如图．由图可知：−43＜𝑘＜283．20．（1）证明：∵PA＝PD，E为AD中点，∴PE⊥AD，又∵ABCD为菱形且∠DAB＝60°，∴EB⊥AD，∵PE∩EB＝E，∴AD⊥面PEB，∵AD⊂面ABCD，∴面PEB⊥面ABCD；（2）解：∵AB＝2，∠BAD＝60°，∴BE=√3，PE＝1，又PB＝2，∴PE2+EB2＝PB2，则PE⊥EB．以E为坐标原点，分别以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则A（1，0，0），B（0，√3，0），P（0，0，1），C（﹣2，√3，0），𝐵𝐴→=(1，−√3，0)，𝐵𝑃→=(0，−√3，1)，𝐶𝑃→=(2，−√3，1)．设平面PBC的一个法向量为𝑛→=(𝑥，𝑦，𝑧)．由{𝑛→⋅𝐵𝑃→=−√3𝑦+𝑧=0𝑛→⋅𝐶𝑃→=2𝑥−√3𝑦+𝑧=0，取y＝1，得𝑛→=(0，1，√3)．设直线AB与平面PBC所成角为θ．∴sinθ＝|cos＜𝐵𝐴→，𝑛→＞|=|𝐵𝐴→⋅𝑛→||𝐵𝐴→|⋅|𝑛→|=√32×2=√34．21．（1）因为𝑒=𝑐𝑎=√22，|𝐹1𝐹2|=2𝑐=2，所以c＝1，𝑎=√2，b2＝a2﹣c2＝1，椭圆的方程为𝑥22+𝑦2=1；（2）因为k1k2＜0，所以直线BC斜率存在设直线lBC：y＝kx+m（m≠1），B（x1，y1），C（x2，y2），联立方程{𝑦=𝑘𝑥+𝑚，𝑥2+2𝑦2−2=0，消y得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，𝑥1+𝑥2=−4𝑘𝑚2𝑘2+1，𝑥1𝑥2=2𝑚2−22𝑘2+1，（*）又𝑘1𝑘2=𝑦1−1𝑥1⋅𝑦2−1𝑥2=−1，理得（y1﹣1）（y2﹣1）+x1x2＝0，即（kx1+m﹣1）（kx2+m﹣1）+x1x2＝0，所以（k2+1）x1x2+k（m﹣1）（x1+x2）+（m﹣1）2＝0（*）代入得2(𝑘2+2)(𝑚2−1)2𝑘2+1−4𝑘2𝑚(𝑚−1)2𝑘2+1+(𝑚−1)2=0，整理得3m+1＝0得𝑚=−13，所以直线BC过定点(0，−13)．22．（1）当a＝1，f（x）＝（x+1）ex，∴f′（x）＝（x+2）ex，∴f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增，∴f（x）min＝f（﹣2）=−1𝑒2．（2）当a=−12时，f（x）＝（−12x+1）ex，对于两个不相等的实数x1，x2，有f（x1）＝f（x2），∵f′（x）＝（1﹣x）ex，∴f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，不妨设x1＜1＜x2，令g（x）＝f（x）﹣f（2﹣x），（x＜1）∴g′（x）=12（1﹣x）（ex﹣e2﹣x），当x＜1时，1﹣x＞0，x＜2﹣x，ex﹣e2﹣x＜0，∴g′（x）＜0，∴g（x）在（﹣∞，1）单调递减，∴g（x）＞g（1）＝f（1）﹣f（1）＝0，即f（x）﹣f（2﹣x）＞0，不妨设x1＜1＜x2，则2﹣x1＞1，由以上可知f（x1）＞f（2﹣x1），∵f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∵f（x1）＝f（x2），∴f（x2）＞f（2﹣x1），∵x2＞1，2﹣x1＞1，∵f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴x2＜2﹣x1，∴x1+x2＜2声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/8/2711:34:07；用户：无问西东；邮箱：[e-mail]；学号：24811610