江西省吉安市2018-2019学年高二上学期期末质量检测数学(文)试题一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.下列导数运算正确的是()A.(x−1)′=1x2B.(2x)′=x2x−1C.(cosx)′=sinxD.(lnx+x)′=1+1x【答案】D【解析】解:(x−1)′=−1x2,(2x)′=2xln2,(cosx)′=−sinx,(lnx+x)′=1+1x,故选:D.根据求导公式计算即可.本题考查了导数的运算法则,属于基础题2.下列说法正确的是()A.函数f(x)=1x既是奇函数又在区间(−∞,0)上单调递增B.若命题p,¬q都是真命题,则命题p∧q”为真命题C.命题:“若xy=0,则x=0或y=0的否命题为若xy≠0,则x≠0或y≠0”D.命题“∀x∈R,2x0”的否定是“∃x0∈R,2x0≤0”【答案】D【解析】解:函数f(x)=1x既是奇函数又在区间(−∞,0)上单调递减,故A错误;命题p,¬q都是真命题,即p真q假则命题p∧q”为假命题,故B错误;命题:“若xy=0,则x=0或y=0的否命题为若xy≠0,则x≠0且y≠0”,故C错误;命题“∀x∈R,2x0”的否定是“∃x0∈R,2x0≤0”,故D正确.故选:D.由反比例函数的奇偶性和单调性可判断A;由p真q假,结合复合命题的真假,可判断B;由命题的否命题为既对条件否定,又对结论否定,可判断C;由全称命题的否定为特称命题,可判断D.本题考查函数的单调性和奇偶性的判断,复合命题的真假和命题的否定与否命题的区别,考查判断能力,是一道基础题.3.“a=1”是“直线ax+y=1与直线x+ay=2平行”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解:由a=1,得两直线方程为x+y=1与x+y=2,两直线平行;由直线ax+y=1与直线x+ay=2平行,可得{−2a+1≠0a2−1=0,解得:a=±1.∴“a=1”是“直线ax+y=1与直线x+ay=2平行”的充分而不必要条件.故选:A.由a=1能得到直线ax+y=1与直线x+ay=2平行,反之由两直线平行可得a=±1.由此可得答案.本题考查了充分必要条件的判定方法,考查了直线的一般式方程与直线平行的关系,是基础题.4.如图是一个几何体的三视图,其左视图是等腰直角三角形,则该几何体的体积为()A.13B.23C.2D.4【答案】C【解析】解:根据几何体的三视图,转换为几何体为:下底为底边长2,高为1的等腰直角三角形,高为2的直三棱柱.故:V=12⋅2⋅1⋅2=2.故选:C.首先把三视图转换为几何体,进一步利用几何体的体积公式的应用求出结果.本题考查的知识要点:三视图和几何体的转换,几何体的体积公式的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型.5.若曲线y=x2+mx+n在点(0,n)处的切线方程是x−y+1=0,则()A.m=−1,n=1B.m=1,n=1C.m=1,n=−1D.m=−1,n=−1【答案】B【解析】解:∵曲线在点(0,n)处的切线方程是x−y+1=0,∴0−n+1=0,则n=1,即切点坐标为(0,1),且切线斜率k=1,此时曲线方程为y=x2+mx+1,则函数的导数f′(x)=2x+m即k=f′(0)=0+m=1,即m=1,则m=1,n=1,故选:B.根据函数的切线方程得到切点坐标以及切线斜率,根据导数的几何意义进行求解即可.本题主要考查函数的切线的应用,利用导数的几何意义建立方程关系是解决本题的关键.6.在空间直角坐标系中,点M(1,2,3)到z轴的距离为()A.√5B.3C.√10D.√13【答案】A【解析】解:空间直角坐标系中,点M(1,2,3)到z轴的距离为√12+22=√5.故选:A.空间直角坐标系中点M(x,y,z)到z轴的距离为√x2+y2.本题考查了空间直角坐标系下的距离计算问题,是基础题.7.点M是抛物线y2=2px(p0)上一点,F为抛物线的焦点,FM⊥x轴,且|OM|=√5,则抛物线的准线方程为()A.x=−1B.x=−2C.y=−1D.y=−2【答案】A【解析】解:抛物线y2=2px的焦点为F(p2,0),M为抛物线上的点,且FM⊥x轴,∴M(p2,±p);又|OM|=√5,∴(p2)2+p2=5,解得p=2,所以抛物线的准线方程为x=−1.故选:A.根据题意写出抛物线y2=2px的焦点坐标,求出点M,再根据|OM|的值求出p,即可写出抛物线的准线方程.本题主要考查了抛物线的标准方程与简单几何性质的应用问题,是基础题.8.设m,n为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,下列命题中正确的()A.若m//α,m//n,n//β,则α//βB.若m//α,m⊥n,n⊥β,则α//βC.若m//α,m⊥n,n//β,则α//βD.若m⊥α,m//n,n//β,则α⊥β【答案】D9.若直线ax−2by−2ab=0(a0,b0)平分圆(x−2)2+(y+1)2=2的周长,则a+2b的最小值为()A.1B.3+2√2C.4√2D.5【答案】B【解析】解:因为直线ax−2by−2ab=0(a0,b0)平分圆(x−2)2+(y+1)2=2的周长,所以圆心(2,−1)在直线ax−2by−2ab=0上,所以2a+2b=2ab,即1a+1b=1,∴a+2b=(a+2b)(1a+1b)=1+2+(2ba+ab)≥3+2√2ba⋅ab=3+2√2,(当且仅当a=√2+1,b=1+√22).故选:B.根据题意得圆心在直线上得1a+1b=1,∴a+2b=(a+2b)(1a+1b)=1+2+(2ba+ab)再用基本不等式可得.本题考查了直线与圆的位置关系,基本不等式,属中档题.10.F1,F2是椭圆的两个焦点,P是椭圆上异于顶点的一点,且△F1PF2是等腰直角三角形,则椭圆的离心率为()A.√22B.−1+√22C.1+√22D.−1+√2【答案】D【解析】解:由△PF1F2是等腰直角三角形,且P是椭圆上异于顶点的一点,∴角F1或角F2为直角,不妨令角F2为直角,此时P(c,y),代入椭圆方程x2a2+y2b2=1(不妨设焦点在x轴上),解得y=±b2a,又三角形PF1F2为等腰直角三角形,得PF2=F1F2,故得b2a=2c,即2ac=a2−c2,即e2+2e−1=0,解得e=−1±√2,由0e1,可得e=−1+√2,故选:D.由已知可得,角F1或角F2为直角,不妨令角F2为直角,求出PF2的长度,再由PF2=F1F2列式求得椭圆的离心率.本题考查椭圆的方程、性质和应用,正确理解题意是关键,是中档题.11.已知x,y满足x2−4x+y2=0,则x−2y的最大值为()A.2√5B.2√5+2C.3√5+2D.4√5【答案】B【解析】解:x2−4x+y2=0可化为(x−2)2+y2=4,设x−2y=t,则直线x−2y−t=0与圆有交点,所以|2−t|√5≤2,解得2−2√5≤t≤2+2√5,故选:B.设x−2y=t,则可利用直线x−2y−t=0与圆有交点列式解不等式可解得.本题考查了直线与圆的位置关系,属中档题.12.已知点F1(−2,0),F2(2,0),动点P满足|PF2|−|PF1|=2√3,当点P的纵坐标是√2时,则PF1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅PO⃗⃗⃗⃗⃗的值是()A.3B.5C.15D.17【答案】B【解析】解:由题意可设P(x,√2),∵F1(−2,0),F2(2,0),|PF2|−|PF1|=2√3,∴P的轨迹是以以F1(−2,0),F2(2,0)为焦点的双曲线的左支,其方程为x23−y2=1(x≤√3),∵点P的纵坐标是√2时,横坐标为x=−3,即P(−3,√2),∴PO⃗⃗⃗⃗⃗⋅PF1⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(3,−√2)⋅(1,−√2)=1×3+(−√2)×(−√2)=5,故选:B.由已知可得P的轨迹是以F1(−2,0),F2(2,0)为焦点的双曲线的左支,结合定义可求方程,进而可求P,然后由向量数量积的坐标表示即可求解.本题主要考查了双曲线的定义及向量数量积的坐标表示,属于基础试题.二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13.经过点P(0,1)作直线l与连接A(−1,−2),B(2,1)的直线垂直,则直线l的方程为______.【答案】x+y−1=0【解析】解:kAB=−2−1−1−2=1.∵直线l与连接A(−1,−2),B(2,1)的直线垂直,∴kl=−1.∴直线l的方程为:y=−x+1,即x+y−1=0.故答案为:x+y−1=0.利用斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出.本题考查了斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.14.命题“对任意x∈R,mx2+(m+1)x+1≥0恒成立”是真命题,则实数m的取值集合是______.【答案】{1}【解析】解:由命题“对任意x∈R,mx2+(m+1)x+1≥0恒成立”是真命题,则①m=0时,不等式可变为x+1≥0,显然不满足题意,②m≠0时,由已知有{(m+1)2−4m≤0m0,解得:m=1,综合①②得:{1}.结合分类讨论的数学思想方法分①m=0时,②m≠0时及二次不等式恒成立问题解题即可,本题考查了不等式恒成立问题及分类讨论的数学思想方法,属简单题15.在三棱柱ABC−A1B1C1中,BA,BC,BB1两两垂直,且BA=1,BC=1,BB1=2,则三棱柱ABC−A1B1C1的外接球的表面积为______.【答案】6π【解析】解:∵BA,BC,BB1两两垂直,且AB∩BC=B,∴BB1⊥平面ABC,直角△ABC的外接圆直径为AC=√AB2+BC2=√2,所以,该三棱柱ABC−A1B1C1的外接球直径为2R=√BB12+AC2=√6.因此,三棱柱ABC−A1B1C1的外接球的表面积为4πR2=π×(2R)2=6π.故答案为:6π.先证明BB1⊥平面ABC,计算出直角△ABC的外接圆直径AC,然后利用公式2R=√BB12+AC2可计算出外接球的直径,最后利用球体表面积公式可得出答案.本题考查球体表面积的计算,考查直线与平面垂直的判定,考查计算能力与推理能力,属于中等题.16.已知椭圆中心在原点,一个顶点是抛物线y2=8x的焦点,且离心率为12,则椭圆标准方程为______.【答案】x24+y23=1或x24+3y216=1【解析】解:抛物线y2=8x的焦点为F(2,0),∴椭圆的一个顶点为A(2,0);若椭圆的焦点在x轴上,则a=2,且离心率为e=ca=12,∴c=1,b2=a2−c2=3,椭圆标准方程为x24+y23=1;若椭圆的焦点在y轴上,则b=2,且离心率为e=ca=12,∴b=2,b2=a2−c2=3c2=4,解得c2=43,a2=163,∴椭圆标准方程为x24+3y216=1;综上,所求椭圆的标准方程是x24+y23=1或x24+3y216=1.故答案为:x24+y23=1或x24+3y216=1.求出抛物线的焦点坐标得出椭圆的一个顶点坐标,讨论椭圆的焦点在x轴和y轴上,分别求出椭圆的标准方程.本题考查了椭圆的标准方程与应用问题,也考查了抛物线的标准方程应用问题,是基础题.三、解答题(本大题共6小题,共70.0分)17.命题p:若存在x0∈R,使得m−2sinx0=0成立;命题q:方程x2m−1+y2m−3=1表示焦点在x轴上的双曲线.如果“p且q”为假命题,“p或q”为真命题,求实数m的取值范围.【答案】解:若命题p为真命题,则:m=2sinx有解,得−2≤m≤2,若命题q为真命题,则{m−30m−10,即1m3,又“p且q“为假命题,“p或q“为真命题,则p,q中一真一假,即:{m≤1或m≥3−2≤m≤2或{1m3m2或m−2∴−2≤m≤1或2≤m3∴实数m的取值范围为[−2,1]∪(2,3).【解析】先求出p真和q真时的m的范围,又“p且q“为假命题,“p或q“为真命题,则p,q中一真一假,在按照p真q假,p假q真两种情况解不等式后结果相并.本题考查了复合命题及其真假