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江西省宜春市2018-2019学年第一学期期末统考高二数学（文科）试卷（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题：∃𝑥00，𝑥02−𝑥0−20的否定是()A.∀𝑥≤0，𝑥2−𝑥−2≤0B.∃𝑥0≤0，𝑥02−𝑥0−2≤0C.∀𝑥0，𝑥2−𝑥−2≤0D.∃𝑥00，𝑥02−𝑥0−2≤0【答案】C【解析】解：命题的否定是：∀𝑥0，𝑥2−𝑥−2≤0．故选：C．根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键.比较基础．2.若𝑎𝑏，则下列不等式中正确的是()A.𝑎2𝑏2B.1𝑎1𝑏C.𝑎𝑐2𝑏𝑐2D.𝑎3𝑏3【答案】D【解析】解：对于选项：A、当𝑐≤0时，不等式不成立．对于选项：B、当𝑎=0或𝑏=0时，不等式无意义．对于选项C、当𝑐=0时，不等式不成立．对于选项D：当𝑎−𝑏0时，𝑎3−𝑏3=(𝑎−𝑏)(𝑎2+𝑎𝑏+𝑏2)=(𝑎−𝑏)[(𝑎+𝑏2)2+3𝑏24]0，故选：D．直接利用举反例和配方法求出结果．本题考查的知识要点：不等式基本性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．3.在△𝐴𝐵𝐶中，若∠𝐴=60∘，∠𝐵=45∘，𝐵𝐶=3√2，则𝐴𝐶=()A.4√3B.2√3C.√3D.√32【答案】B【解析】解：根据正弦定理，𝐵𝐶sin𝐴=𝐴𝐶sin𝐵，则𝐴𝐶=𝐵𝐶⋅sin𝐵sin𝐴=3√2×√22√32=2√3故选：B．结合已知，根据正弦定理，𝐵𝐶sin𝐴=𝐴𝐶sin𝐵可求AC本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础试题4.设𝑆𝑛为等差数列{𝑎𝑛}的前n项和，已知𝑎1=3，𝑆5=5，则公差𝑑=()A.1B.−1C.2D.−2【答案】B【解析】解：∵𝑆𝑛为等差数列{𝑎𝑛}的前n项和，𝑎1=3，𝑆5=5，∴𝑆5=5×3+5×42𝑑=5，解得公差𝑑=−1．故选：B．利用等差数列前n项和公式直接求解．本题考查等差数列的公差的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.已知双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2=1(𝑎0)的一条渐近线为𝑥+2𝑦=0，则实数a的值为()A.2B.12C.±2D.±12【答案】A【解析】解：根据题意，双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2=1的焦点在x轴上，其渐近线方程为𝑦=±𝑥𝑎，又由双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2=1(𝑎0)的一条渐近线为𝑥+2𝑦=0，即𝑦=−12𝑥，则𝑎=2；故选：A．根据题意，由双曲线的方程分析其焦点坐标以及渐近线方程为𝑦=±𝑥𝑎，结合题意中渐近线方程分析可得答案．本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题．6.已知数列{𝑎𝑛}的通项公式为𝑎𝑛=log2𝑛+1𝑛(𝑛∈𝑁+)，设其前n项和为𝑆𝑛，则使𝑆𝑛5成立的正整数n有()A.最小值64B.最大值64C.最小值32D.最大值32【答案】C【解析】解：由题意可知；𝑎𝑛=log2𝑛+1𝑛(𝑛∈𝑁+)，设{𝑎𝑛}的前n项和为𝑆𝑛=log221+log232+⋯+log2𝑛+1𝑛=log2(21×32×…×𝑛+1𝑛)=log2(𝑛+1)5=log232，∴𝑛+132，即𝑛31，∴𝑆𝑛5成立的正整数n有最小值为32，故选：C．根据题中已知数列{𝑎𝑛}的通项公式求出其前n项和的𝑆𝑛的表达式，然后令𝑆55即可求出n的取值范围，即可知n有最小值．本题主要考查了数列与函数的综合应用，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．7.若函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥3+2𝑎𝑥+1在点(1,3𝑎+1)处的切线平行于直线𝑦=2𝑥+1，则𝑎=()A.−1B.1C.35D.25【答案】D【解析】解：函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥3+2𝑎𝑥+1的导数为𝑓′(𝑥)=3𝑎𝑥2+2𝑎，在点(1,3𝑎+1)处的切线平行于直线𝑦=2𝑥+1，可得3𝑎+2𝑎=2，即𝑎=25，故选：D．求得𝑓(𝑥)的导数，可得𝑥=1处的切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得a．本题考查导数的几何意义，考查两直线平行的条件：斜率相等，考查方程思想和运算能力，属于基础题．8.设椭圆𝑥2𝑚2+𝑦2𝑛2=1(𝑚0,𝑛0)的焦点与抛物线𝑥2=4𝑦的焦点相同，离心率为13，则𝑚−𝑛=()A.2√2−3B.3−2√2C.4√2−6D.6−4√2【答案】A【解析】解：根据题意，抛物线𝑥2=4𝑦的焦点为(0,1)，则椭圆𝑥2𝑚2+𝑦2𝑛2=1(𝑚0,𝑛0)的焦点也为(0,1)，焦点在y轴上，则有𝑐=1，𝑎=𝑛，𝑏=𝑚又由椭圆的离心率为13，即𝑒=𝑐𝑎=13，则𝑛=𝑎=3，则𝑚=𝑏=√𝑎2−𝑐2=2√2，则𝑚−𝑛=2√2−3；故选：A．根据题意，求出抛物线𝑥2=4𝑦的焦点坐标，则有椭圆𝑥2𝑚2+𝑦2𝑛2=1的焦点坐标，据此可得𝑐=1，𝑎=𝑛，𝑏=𝑚，结合椭圆的离心率公式可得m的值，计算可得n的值，分析可得答案．本题考查椭圆、抛物线的性质，注意椭圆离心率公式的应用，属于基础题．9.△𝐴𝐵𝐶的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2𝑐⋅cos𝐵=2𝑎+𝑏，则∠𝐶=()A.30∘B.60∘C.120∘D.150∘【答案】C【解析】解：根据题意，若2𝑐⋅cos𝐵=2𝑎+𝑏，则有：2𝑐×𝑎2+𝑐2−𝑏22𝑎𝑐=2𝑎+𝑏，整理得：𝑎2+𝑏2−𝑐2=−𝑎𝑏，可得：cos𝐶=𝑎2+𝑏2−𝑐22𝑎𝑏=−𝑎𝑏2𝑎𝑏=−12，又在△𝐴𝐵𝐶中，0∘𝐶180∘，∴𝐶=120∘．故选：C．结合题意，由余弦定理可得2𝑐×𝑎2+𝑐2−𝑏22𝑎𝑐=2𝑎+𝑏，变形可得𝑎2+𝑏2−𝑐2=−𝑎𝑏，根据余弦定理可求cos𝐶的值，结合C的范围，分析可得答案．本题考查三角形中的几何计算，考查了余弦定理的应用，属于基础题．10.已知函数𝑓(𝑥)为R上的可导函数，其导函数为，且𝑓(𝑥)=√3𝑓′(𝜋6)⋅sin𝑥+cos𝑥，在△𝐴𝐵𝐶中，，则△𝐴𝐵𝐶的形状为()A.等腰锐角三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰钝角三角形【答案】D【解析】解：函数的导数𝑓′(𝑥)=√3𝑓′(𝜋6)cos𝑥−sin𝑥，则𝑓′(𝜋6)=√3𝑓′(𝜋6)cos𝜋6−sin𝜋6=√3×√32𝑓′(𝜋6)−12=32𝑓′(𝜋6)−12，则12𝑓′(𝜋6)=12，则𝑓′(𝜋6)=1，则𝑓′(𝑥)=√3cos𝑥−sin𝑥=2cos(𝑥+𝜋6)，𝑓(𝑥)=√3sin𝑥+cos𝑥=2cos(𝑥−𝜋3)，，∴𝑓′(𝐵)=2cos(𝐵+𝜋6)=1，即cos(𝐵+𝜋6)=12，则𝐵+𝜋6=𝜋3，得𝐵=𝜋6，𝑓(𝐴)=2cos(𝐴−𝜋3)=1，即cos(𝐴−𝜋3)=12，则𝐴−𝜋3=𝜋3，则𝐴=2𝜋3，则𝐶=𝜋−2𝜋3−𝜋6=𝜋6，则𝐵=𝐶，即△𝐴𝐵𝐶是等腰钝角三角形，故选：D．求函数的导数，先求出𝑓′(𝜋6)=1，然后利用辅助角公式进行化简，求出A，B的大小即可判断三角形的形状．本题主要考查三角形形状的判断，根据导数的运算法则求出函数𝑓(𝑥)和𝑓′(𝑥)的解析式是解决本题的关键．11.已知点𝑃(2,1)在椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎𝑏0)上，点𝑀(𝑎,𝑏)为平面上一点，O为坐标原点，则当|𝑂𝑀|取最小值时，椭圆的离心率为()A.√33B.12C.√22D.√32【答案】C【解析】解：点𝑃(2,1)在椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎𝑏0)上，可得4𝑎2+1𝑏2=1，𝑀(𝑎,𝑏)为平面上一点，O为坐标原点，则当|𝑂𝑀|=√(𝑎2+𝑏2)(4𝑎2+1𝑏2)=√5+4𝑏2𝑎2+𝑎2𝑏2≥√5+2√4𝑏2𝑎2⋅𝑎2𝑏2=3，当且仅当𝑎2=2𝑏2，可得𝑎=√6，𝑏=√3，𝑐=√3，可得𝑒=𝑐𝑎=√3√6=√22．故选：C．点𝑃(2,1)在椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎𝑏0)上，点𝑀(𝑎,𝑏)为平面上一点，得到a，b关系，然后通过|𝑂𝑀|取最小值时，求出a，b，然后求解椭圆的离心率．本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．12.已知函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥(sin𝑥−cos𝑥)，记是𝑓(𝑥)的导函数，将满足𝑓(𝑥)=0的所有正数x从小到大排成数列{𝑥𝑛}，𝑛∈𝑁+，则数列的通项公式是()A.√2(−1)𝑛⋅𝑒𝜋4+(𝑛−1)𝜋B.√2(−1)𝑛+1⋅𝑒𝜋4+(𝑛−1)𝜋C.√2(−1)𝑛⋅𝑒𝜋4+𝑛𝜋D.√2(−1)𝑛+1⋅𝑒𝜋4+𝑛𝜋【答案】B【解析】证明：函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥(sin𝑥−cos𝑥)，由𝑓(𝑥)=0，即𝑒𝑥(sin𝑥−cos𝑥)=0，解得𝑥=(𝑛−1)𝜋+𝜋4，𝑛∈𝑍.从而𝑥𝑛=(𝑛−1)𝜋+𝜋4(𝑛=1,2，3，…)，𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥(sin𝑥−cos𝑥)+𝑒𝑥(sin𝑥+cos𝑥)=2𝑒𝑥sin𝑥，，故选：B．先求解𝑓(𝑥)=0的所有正数根，然后根据函数的导数以及三角函数求值求解本题考查了导数的运算，三角函数方程的求解，以及数列通项公式的求法，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.不等式1𝑥≤𝑥的解集是______．【答案】{𝑥|−1≤𝑥0或𝑥≥1}【解析】解：∵1𝑥≤𝑥，∴1𝑥−𝑥≤0，∴1−𝑥2𝑥≤0．∴(𝑥−1)(𝑥+1)𝑥≥0．∴{(𝑥−1)(𝑥+1)≥0𝑥0或{(𝑥−1)(𝑥+1)≤0𝑥0，∴𝑥≥1或−1≤𝑥0．∴不等式1𝑥≤𝑥的解集是{𝑥|−1≤𝑥0或𝑥≥1}．故答案为：{𝑥|−1≤𝑥0或𝑥≥1}．本题可以先移项再通分，再分类讨论，转化为整式不等式组，再解整式不等式组，得本题答案．本题考查的是分式不等式的解法，可以移项通分后进行分类讨论，也可以移项通分后直接化成整式不等式，本题有一定的难度，属于中档题．14.已知等比数列{𝑎𝑛}的前n项和为𝑆𝑛，若𝑆3=2，𝑆6=6，则𝑆9=______．【答案】14【解析】解：∵等比数列{𝑎𝑛}的前n项和为𝑆𝑛，𝑆3=2，𝑆6=6，由等比数列的性质得：𝑆3，𝑆6−𝑆3，𝑆9−𝑆6成等比数列，∴2，4，𝑆9−6成等比数列，∴42=2(𝑆9−6)，解得𝑆9=14．故答案为：14．由等比数列的性质得：𝑆3，𝑆6−𝑆3，𝑆9−𝑆6成等比数列，即2，4，𝑆9−6成等比数列，由此能求出𝑆9．本题考查等比数列的第9项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.已知抛物线𝑦2=8𝑥的焦点F和𝐴(1,2)，点P为抛物线上的动点，则△𝑃𝐴𝐹的周长取到最小值时点P的坐标为______，【答案】(12,2)【解析】解：抛物线𝑦2=8𝑥的焦点为𝐹(2,0)，点𝐴(1,2)，求△𝑃𝐴𝐹周长的最小值，即求|𝑃𝐴|+|𝑃𝐹|的最小值，设点P在准线上的射影为D，根据抛物线的定义，可知|𝑃𝐹|=|𝑃𝐷|因此，|𝑃𝐴|+|𝑃𝐹|的