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河南省南阳市2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知命题p：∀x0，总有(x+1)ex1，则￢p为()A.∃x0≤0，使得(x0+1)ex0≤1B.∃x00，使得(x0+1)ex0≤1C.∀x00，使得(x0+1)ex0≤1D.∀x0≤0，使得(x0+1)ex0≤1【答案】B【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x0，总有(x+1)ex1，则￢p为：∃x00，使得(x0+1)ex0≤1．故选：B．直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．2.“3m7”是“方程x27−m+y2m−3=1的曲线是椭圆”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分条件又不必要条件【答案】B【解析】解：若方程x27−m+y2m−3=1的曲线是椭圆，则{7−m0m−307−m≠m−3，即{m7m3m≠5，即3m7且m≠5，即“3m7”是“方程x27−m+y2m−3=1的曲线是椭圆”的必要不充分条件，故选：B．根据椭圆的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据椭圆方程的定义求出m的等价条件是解决本题的关键．3.已知空间四边形OABC，其对角线OB、AC，M、N分别是边OA、CB的中点，点G在线段MN上，且使MG=2GN，用向量OA⃗⃗⃗⃗⃗,OB⃗⃗⃗⃗⃗,OC⃗⃗⃗⃗⃗，表示向量OG⃗⃗⃗⃗⃗是()A.OG⃗⃗⃗⃗⃗=OA⃗⃗⃗⃗⃗+23OB⃗⃗⃗⃗⃗+23OC⃗⃗⃗⃗⃗B.OG⃗⃗⃗⃗⃗=12OA⃗⃗⃗⃗⃗+23OB⃗⃗⃗⃗⃗+23OC⃗⃗⃗⃗⃗C.OG⃗⃗⃗⃗⃗=16OA⃗⃗⃗⃗⃗+13OB⃗⃗⃗⃗⃗+13OC⃗⃗⃗⃗⃗D.OG⃗⃗⃗⃗⃗=16OA⃗⃗⃗⃗⃗+13OB⃗⃗⃗⃗⃗+23OC⃗⃗⃗⃗⃗【答案】C【解析】解：∵OG⃗⃗⃗⃗⃗=OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗+MG⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23(MO⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OC⃗⃗⃗⃗⃗+CN⃗⃗⃗⃗⃗)=13OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23OC⃗⃗⃗⃗⃗+13(OB⃗⃗⃗⃗⃗−OC⃗⃗⃗⃗⃗)=16OA⃗⃗⃗⃗⃗+13OB⃗⃗⃗⃗⃗+13OC⃗⃗⃗⃗⃗∴OG⃗⃗⃗⃗⃗=16OA⃗⃗⃗⃗⃗+13OB⃗⃗⃗⃗⃗+13OC⃗⃗⃗⃗⃗故选：C．根据所给的图形和一组基底，从起点O出发，把不是基底中的向量，用是基底的向量来表示，就可以得到结论．本题考查向量的基本定理及其意义，解题时注意方法，即从要表示的向量的起点出发，沿着空间图形的棱走到终点，若出现不是基底中的向量的情况，再重复这个过程．4.已知实数x，y满足不等式组{y≥0x−y+1≥02x+y−4≤0，则函数z=x+y+3的最大值为()A.2B.4C.5D.6【答案】D【解析】：解：作出可行域如下图，z=x+y+3得y=−x+z−3，当直线y=−x+z−3过点C时，z最大，由{2x+y−4=0x−y+1=0得{y=2x=1，即C(1,2)，所以z的最大值为6．故选：D．作出不等式组对应的平面区域，z=x+y+3得y=−x+z−3，利用数形结合即可的得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键5.椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率是12，则b2+13a的最小值为()A.√33B.1C.2√33D.2【答案】A【解析】解：由题意可得，ca=12即c=12a∴b2=a2−c2=3a24则b2+13a=3a24+13a=a4+13a≥2√a4⋅13a=√33当且仅当a4=13a即a=√32时取等号∴b2+13a的最小值为√33故选：A．由题意可得c=12a，b2=a2−c2=3a24，代入b2+13a=3a24+13a=a4+13a，利用基本不等式可求最小值本题主要考查了椭圆的性质的应用及利用基本不等式求解最值的应用，属于知识的简单综合6.如图，直三棱柱ABC−A1B1C1，AC⊥BC，且CA=CC1=2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为()A.√55B.√53C.2√55D.35【答案】A【解析】解：如图所示，建立空间直角坐标系．不妨取CB=1，则CA=CC1=2CB=2．∴A(2,0，0)，B(0,0，1)，C1(0,2，0)，B1(0,2，1)．∴AB1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−2,2，1)，BC1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,2，−1)．∴cosAB1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,BC1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BC1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| |BC1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=3√9⋅√5=√55．故选：A．通过建立空间直角坐标系.利用向量夹角公式即可得出．本题考查了通过建立空间直角坐标系利用向量夹角公式求异面直线的夹角，属于基础题．7.点P(x0,y0)在圆x2+y2=1上运动，则点M(2x0,y0)的轨迹是()A.焦点在y轴上的椭圆B.焦点在x轴上的椭圆C.焦点在y轴上的双曲线D.焦点在x轴上的双曲线【答案】B【解析】解：∵点P(x0,y0)在圆x2+y2=1上，∴x02+y02=1，∴(2x0)24+y02=1，∴点M(2x0,y0)是椭圆x24+y2=1上的点．故选：B．根据x02+y02=1变形(2x0)24+y02=1，得出结论．本题考查了轨迹方程求解，椭圆的性质，属于基础题．8.若两个正实数x，y满足1x+4y=1，且不等式x+y4m2−3m有解，则实数m的取值范围()A.(−1,4)B.(−∞,−1)∪(4,+∞)C.(−4,1)D.(−∞,0)∪(3,+∞)【答案】B【解析】解：∵不等式x+y4m2−3m有解，∴(x+y4)minm2−3m，∵x0，y0，且1x+4y=1，∴x+y4=(x+y4)(1x+4y)=4xy+y4x+2≥2√4xy⋅y4x+2=4，当且仅当4xy=y4x，即x=2，y=8时取“=”，∴(x+y4)min=4，故m2−3m4，即(m+1)(m−4)0，解得m−1或m4，∴实数m的取值范围是(−∞,−1)∪(4,+∞)．故选：B．将不等式x+y4m2−3m有解，转化为求∴(x+y4)minm2−3m，利用“1”的代换的思想进行构造，运用基本不等式求解最值，最后解出关于m的一元二次不等式的解集即可得到答案．本题考查了基本不等式在最值中的应用，不等式的有解问题.在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断.运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值.对于不等式的有解问题一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法求解.属于中档题．9.直线4kx−4y−k=0与抛物线y2=x交于A、B两点，若|AB|=4，则弦AB的中点到直线x+12=0的距离等于()A.74B.2C.94D.4【答案】C【解析】解：直线4kx−4y−k=0可化为k(4x−1)−4y=0，故可知直线恒过定点(14,0)∵抛物线y2=x的焦点坐标为(14,0)，准线方程为x=−14，∴直线AB为过焦点的直线∴AB的中点到准线的距离|FA|+|FB|2=|AB|2=2∴弦AB的中点到直线x+12=0的距离等于2+14=94故选：C．根据抛物线的方程求得抛物线的焦点坐标与准线方程，确定直线AB为过焦点的直线，根据抛物线的定义求得AB的中点到准线的距离，即可求得结论．本题主要考查了抛物线的简单性质.涉及抛物线的焦点弦的问题常需用抛物线的定义来解决．10.已知数列{an}的首项a1=0，an+1=an+2√an+1+1，则a20=()A.99B.101C.399D.401【答案】C【解析】解：数列{an}的首项a1=0，an+1=an+2√an+1+1，则：an+1+1=an+1+2√an+1+1，整理得：(√an+1+1)2=(√an+1+1)2，所以：√an+1+1=√an+1+1，即：√an+1+1−√an+1=1(常数)，所以数列{√an+1}是以√a1+1=1为首项，1为公差的等差数列．则：√an+1=1+(n−1)=n，整理得：an=n2−1(首项符合通项)，则：an=n2−1，所以：a20=400−1=399．故选：C．直接利用关系式的变换和定义求出数列的通项公式，进一步求出数列的项．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．11.给出以下命题，其中真命题的个数是()①若“￢p或q”是假命题，则“p且￢q”是真命题②命题“若a+b≠5，则a≠2或b≠3”为真命题③已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP⃗⃗⃗⃗⃗=16OA⃗⃗⃗⃗⃗+13OB⃗⃗⃗⃗⃗+12OC⃗⃗⃗⃗⃗，则P，A，B，C四点共面；④直线y=k(x−3)与双曲线x24−y25=1交于A，B两点，若|AB|=5，则这样的直线有3条；A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】解：对于①，若“￢p或q”是假命题，则它的否定是“p且￢q”，它是真命题，①正确；对于②，命题“若a+b≠5，则a≠2或b≠3”，它的逆否命题是“若a=2且b=3，则a+b=5”，且为真命题，∴原命题也是真命题，②正确；对于③，由16+13+12=1，且OP⃗⃗⃗⃗⃗=16OA⃗⃗⃗⃗⃗+13OB⃗⃗⃗⃗⃗+12OC⃗⃗⃗⃗⃗，∴P，A，B，C四点共面，③正确；对于④，由双曲线方程知a=2，c=3，即直线l：y=k(x−3)过双曲线的右焦点；又双曲线的两个顶点之间的距离是2a=4，且a+c=2+3=5，∴当直线与双曲线左右两支各有一个交点时，即k=0时2a=4，∴满足|AB|=5的直线有2条，当直线与实轴垂直时，即x=c=3时，得94−y25=1，即y2=254，则y=±52，此时通径长为5，若|AB|=5，则此时直线AB的斜率不存在，不满足条件；综上可知有2条直线满足|AB|=5，④错误．综上所述，正确的命题序号是①②③，有3个．故选：C．①根据命题与它的否定真假性相反，即可判断正误；②根据原命题与它的逆否命题真假性相同，判断即可；③根据空间向量的共面定理，判断正误即可；④由双曲线和直线的位置关系，判断结论是否正确．本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，是中档题．12.F是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a0,b0)的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B.若2AF⃗⃗⃗⃗⃗=FB⃗⃗⃗⃗，则C的离心率是()A.√2B.2C.2√33D.√143【答案】C【解析】解：由题意得右焦点𝐹(𝑐,0)，设一渐近线OA的方程为𝑦=𝑏𝑎𝑥，则另一渐近线OB的方程为𝑦=−𝑏𝑎𝑥，设𝐴(𝑚,𝑏𝑚𝑎)，𝐵(𝑛,−𝑏𝑛𝑎)，∵2𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，∴2(𝑐−𝑚,−𝑏𝑚𝑎)=(𝑛−𝑐,−𝑏𝑛𝑎)，∴2(𝑐−𝑚)=𝑛−𝑐，−2𝑏𝑚𝑎=−𝑏𝑛𝑎，∴𝑚=34𝑐，𝑛=3𝑐2，∴𝐴(3𝑐4,3𝑏𝑐4𝑎)．由𝐹𝐴⊥𝑂𝐴可得，斜率之积等于−1，即3𝑏𝑐4𝑎−03𝑐4−𝑐⋅𝑏𝑎=−1，∴𝑎2=3𝑏2，∴𝑒=𝑐𝑎=√𝑎2+𝑏2𝑎=2√33．故选：C．设一渐近线OA的方程为𝑦=𝑏𝑎𝑥，设𝐴(𝑚,𝑏𝑎𝑚)，𝐵(𝑛,−𝑏𝑛𝑎)，由2𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，求得点A的坐标，再由𝐹𝐴⊥𝑂𝐴，斜率之积等于−1，求出𝑎2=3𝑏2，代入𝑒=𝑐𝑎=√𝑎2+𝑏2𝑎进行运算．本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求得点A的坐标是解题的关键．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知数列2008，2009，1，−2008，…若这个数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列