浙江省临海市杜桥中学20132014学年高二数学上学期期中试题新人教A版高中数学练习试题

1杜桥中学2013-2014学年高二上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．直线经过点(0,2)和点(3,0)，则它的斜率为A.23B.32C．－23D．－322．直线3x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为A．30°B．60°C．150°D．120°4．已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是A．x2＋y2＝2B．x2＋y2＝2C．x2＋y2＝1D．x2＋y2＝45．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为A．－1B．－3C．3D．16．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是A．－1＜a＜1B．0＜a＜1C．a＞1或a＜－1D．a＝±17．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是A．1B．2C．4D．88．过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程为A．x＋2y－5＝0B．2x＋y－4＝0C．x＋3y－7＝0D．3x＋y－5＝09．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程为A．x＋3y－2＝0B．x＋3y－4＝0C．x－3y＋4＝0D．x－3y＋2＝010．椭圆x29＋y24＋k＝1的离心率为45，则k的值为A．－21B．21C．－1925或21D.1925或21211．设双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为A．y＝±2xB．y＝±2xC．y＝±22xD．y＝±12x12．设椭圆x2m2＋y2n2＝1(m0，n0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为A.x212＋y216＝1B.x216＋y212＝1C.x248＋y264＝1D.x264＋y248＝113．已知抛物线y2＝4x的准线过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左顶点，且此双曲线的一条渐近线方程为y＝2x则双曲线的焦距为A.5B．25C.3D．2314．已知椭圆C：x24＋y2＝1的焦点为F1、F2，若点P在椭圆上，且满足|PO|2＝|PF1|·|PF2|(其中O为坐标原点)，则称点P为“闪光点”．下列结论正确的是A．椭圆C上的所有点都是“闪光点”B．椭圆C上仅有有限个点是“闪光点”C．椭圆C上的所有点都不是“闪光点”D．椭圆C上有无穷多个点(但不是所有的点)是“闪光点”二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)15．若两直线2x＋y＋2＝0与ax＋4y－2＝0互相垂直，则其交点的坐标为____★____．16．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是★17．点(1,1)P到直线10xy的距离是__★___18．椭圆x2＋4y2＝1的离心率为____★____．19．若双曲线y216－x2m＝1的离心率e＝2，则m＝___★_____.20．设圆C位于抛物线y2＝2x与直线x＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C的半径能取到的最大值为____★_____．322．(10分)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(ba0)，O为坐标原点，离心率e＝2，点M(5，3)在双曲线上．(1)求双曲线的方程；(2)若直线l与双曲线交于P，Q两点，且OQOP，.求1|OP|2＋1|OQ|2的值．23．(10分)如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.(1)求实数b的值；(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．424.(10分)已知椭圆G：x24＋y2＝1.过点(m,0)作圆x2＋y2＝1的切线l交椭圆G于A，B两点.(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；(2)将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．三、解答题：本大题共4小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．21．(10分)求直线的方程(1)过点A(1,3)，且与直线y＝－4x垂直，求直线的方程．(2)过点(－3,4)，且与直线12yx平行，求直线的方程．22．(10分)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(ba0)，O为坐标原点，离心率e＝2，点M(5，3)在双曲线上．(1)求双曲线的方程；(2)若直线l与双曲线交于P，Q两点，且OQOP.求1|OP|2＋1|OQ|2的值．523．(10分)如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.(1)求实数b的值；(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．24.(10分)已知椭圆G：x24＋y2＝1.过点(m,0)作圆x2＋y2＝1的切线l交椭圆G于A，B两点.(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；(2)将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．6杜桥中学高二年级期中考试数学参考答案二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．15．(－1,0)；16．203；17．223；18．32；19．48；20．6－1．三、解答题：本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．解：(1)设所求直线的斜率为k，依题意k＝41.又直线经过点A(1,3)，因此所求直线方程为y－3＝41(x－1)，即x－4y＋11＝0.(2)设所求直线的斜率为k，依题意k＝2，又直线经过点(－3,4)，因此所求直线方程为y－4＝2(x＋3)，即2x－y＋10＝0.x2＝123－k2，y2＝12k23－k2，∴|OP|2＝x2＋y2＝k2＋3－k2.7则OQ的方程为y＝－1kx，同理有|OQ|2＝121＋1k23－1k2＝k2＋3k2－1，∴1|OP|2＋1|OQ|2＝3－k2＋k2－k2＋＝2＋2k2k2＋＝16.23.解：(1)由y＝x＋b，x2＝4y，得x2－4x－4b＝0，(*)因为直线l与抛物线C相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0，解得b＝－1.(2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)为x2－4x＋4＝0.解得x＝2，代入x2＝4y，得y＝1，故点A(2,1)．因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r就等于圆心A到抛物线的准线y＝－1的距离，即r＝|1－(－1)|＝2，所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.24.解：(1)由已知得，a＝2，b＝1，所以c＝a2－b2＝3.所以椭圆G的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，离心率为e＝ca＝32.(2)由题意知，|m|≥1.当m＝1时，切线l的方程为x＝1，点A，B的坐标分别为1，32，1，－32，此时|AB|＝3.当m＝－1时，同理可得|AB|＝3.当|m|＞1时，设切线l的方程为y＝k(x－m)．由y＝kx－m，x24＋y2＝1.得(1＋4k2)x2－8k2mx＋4k2m2－4＝0.设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝8k2m1＋4k2，x1x2＝4k2m2－41＋4k2.又由l与圆x2＋y2＝1相切，得|km|k2＋1＝1，8即m2k2＝k2＋1.所以|AB|＝x2－x12＋y2－y12＝＋k2x1＋x22－4x1x2]＝＋k264k4m2＋4k22－k2m2－1＋4k2