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湖北省仙桃市、天门市、潜江市2018-2019学年高二（上）期末数学试卷（文科）(解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.过点(1,2)且垂直于y轴的直线方程为()A.𝑦=2B.𝑥=1C.𝑦=1D.𝑥=2【答案】A【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，𝑦=2过点(1,2)且垂直于y轴，符合题意；对于B，𝑥=1过点(1,2)但垂直于x轴，不符合题意；对于C，𝑦=1垂直于y轴但不经过点(1,2)，不符合题意；对于D，𝑥=2垂直于x轴，不经过点(1,2)，不符合题意；故选：A．根据题意，结合直线的方程的形式依次分析选项，即可得答案．本题考查直线的方程，注意垂直与y轴的直线的形式，属于基础题．2.已知m，n是两条不重合的直线，𝛼，𝛽是不重合的平面，下面四个命题中正确的是()A.若𝑚⊂𝛼，𝑛//𝛼，则𝑚//𝑛B.若𝑚⊥𝑛，𝑚⊥𝛽，则𝑛//𝛽C.若𝛼∩𝛽=𝑛，𝑚//𝑛，则𝑚//𝛼且𝑚//𝛽D.若𝑚⊥𝛼，𝑚⊥𝛽，则𝛼//𝛽【答案】D【解析】解：由m，n是两条不重合的直线，𝛼，𝛽是不重合的平面，知：在A中，若𝑚⊂𝛼，𝑛//𝛼，则m与n平行或异面，故A错误；在B中，若𝑚⊥𝑛，𝑚⊥𝛽，则𝑛//𝛽或𝑛⊂𝛽，故B错误；在C中，若𝛼∩𝛽=𝑛，𝑚//𝑛，则𝑚//𝛼且𝑚//𝛽或𝑚//𝛼且𝑚⊂𝛽或𝑚⊂𝛼且𝑚//𝛽，故C错误；在D中，若𝑚⊥𝛼，𝑚⊥𝛽，则由面面平行的判定定理得𝛼//𝛽，故D正确．故选：D．在A中，m与n平行或异面；在B中，𝑛//𝛽或𝑛⊂𝛽；在C中，𝑚//𝛼且𝑚//𝛽或𝑚//𝛼且𝑚⊂𝛽或𝑚⊂𝛼且𝑚//𝛽；在D中，由面面平行的判定定理得𝛼//𝛽．本题考查命题真假的判断，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识的灵活运用，是中档题．3.已知双曲线方程为𝑦29−𝑥24=1，则其渐近线方程为()A.𝑦=±32𝑥B.𝑦=±23𝑥C.𝑦=±94𝑥D.𝑦=±49𝑥【答案】A【解析】解：双曲线方程为𝑦29−𝑥24=1，则渐近线方程为：𝑥2±𝑦3=0即𝑦=±32𝑥．故选：A．直接利用双曲线方程求解双曲线的渐近线即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，基本知识的考查．4.点A，B的坐标分别是(−1,0)，(1,0)，直线AM与BM相交于点M，且直线AM与BM的斜率的商是𝜆(𝜆≠1)，则点M的轨迹是()A.直线B.圆C.椭圆D.抛物线【答案】A【解析】解：设点M的坐标为(𝑥,𝑦)，则∵点A，B的坐标分别是(−1,0)，(1,0)，直线AM与BM的斜率的商是𝜆(𝜆≠1)，∴𝑦𝑥+1𝑦𝑥−1=𝜆，𝑥−1𝑥+1=𝜆，可得𝜆𝑥−𝑥+1+𝜆=0.则点M的轨迹是直线．故选：A．设点M的坐标，利用直线AM与BM的斜率的商是𝜆(𝜆≠1)，建立方程，即可求得点M的轨迹方程．本题考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于基础题．5.从半径为6cm的圆形纸片上剪下一个圆心角为120∘的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的高为()A.2√2𝑐𝑚B.3√5𝑐𝑚C.2√5𝑐𝑚D.4√2𝑐𝑚【答案】D【解析】解：设所围成圆锥的底面半径为r，高为h，则母线长为𝑙=6𝑐𝑚，如图所示；由120∘=2𝜋3，所以扇形的弧长为2𝜋3×6=2𝜋𝑟，解得𝑟=2(𝑐𝑚)；所以圆锥的高为ℎ=√62−22=4√2(𝑐𝑚)．故选：D．根据扇形的弧长等于底面圆的周长求出底面圆半径r，再利用勾股定理求圆锥的高．本题考查了圆锥的结构特征与应用问题，是基础题．6.已知某几何体是由一个侧棱长为6的三棱柱沿着一条棱切去一块后所得，其三视图如图所示，侧视图是一个等边三角形，则切去部分的体积等于()A.4√3B.8√3C.12√3D.20√3【答案】A【解析】解：根据几何体的三视图，转换为几何体：即：底面边长为4的等边三角形高为6的直棱柱，切去一个高底面为4的三角形高为3的三棱锥．故切去部分的体积为：𝑉=13⋅12⋅4⋅2√3⋅3=4√3．故选：A．首先把几何体的三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．7.直线𝑙1，𝑙2分别过点𝑀(1,4)，𝑁(3,1)，它们分别绕点M和N旋转，但必须保持平行，那么它们之间的距离d的最大值是()A.5B.4C.√13D.3【答案】C【解析】解：当两条平行直线𝑙1，𝑙2都与MN垂直时，它们之间的距离取得最大值为：|𝑀𝑁|=√(1−3)2+(4−1)2=√13．故选：C．当两条平行直线𝑙1，𝑙2都与MN垂直时，它们之间的距离取得最大值．本题两平行线间距离的最大值的求法，考查平行线的性质、两点之间距离公式，考查运算求解能力，是基础题．8.已知圆C：𝑥2+𝑦2−8𝑥+15=0，直线𝑦=𝑘𝑥+2上至少存在一点P，使得以P为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的取值范围是()A.[−35,1]B.[−54,1]C.[−43,0]D.[−53,0]【答案】C【解析】解：问题等价于圆心(4,0)到直线l的距离小于等于2，∴|4𝑘−0+2|√𝑘2+1≤2，解得−43≤𝑘≤0，故选：C．问题等价于圆心(4,0)到直线l的距离小于等于2．本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．9.设F为抛物线C：𝑥2=4𝑦的焦点，过F且倾斜角为60∘的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△𝑂𝐴𝐵的面积为()A.3√34B.94C.9D.4【答案】D【解析】解：抛物线C：𝑥2=4𝑦的焦点(0,1)，设𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，∴𝐹且倾斜角为60∘的直线𝑦=√3𝑥+1，∴{𝑥2=4𝑦𝑦=√3𝑥+1，整理得：𝑥2−4√3𝑥−4=0，由韦达定理可知：𝑥1+𝑥2=4√3，𝑦1+𝑦2=14由抛物线的性质可知：|𝐴𝐵|=𝑝+𝑦1+𝑦2=2+14=16，点O到直线𝑦=√3𝑥+1的距离d，𝑑=1√3+1=12，∴则△𝑂𝐴𝐵的面积S，𝑆=12⋅|𝐴𝐵|⋅𝑑=12×12×16=4，故选：D．根据抛物线的方程求得焦点坐标，根据直线的倾斜角求得直线方程，代入抛物线方程，利用韦达定理求得𝑥1+𝑥2，由抛物线的性质可知|𝐴𝐵|=𝑝+𝑦1+𝑦2，利用点到直线的距离公式求得O到直线𝑦=√3𝑥+1的距离d，根据三角形的面积公式𝑆=12⋅|𝐴𝐵|⋅𝑑，即可求得则△𝑂𝐴𝐵的面积．本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，点到直线的距离公式及三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题．10.平面𝛼过正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的顶点A，𝛼//平面𝐶𝐵1𝐷1，𝛼∩平面𝐴𝐵𝐶𝐷=𝑚，则直线m与直线BC所成角的正弦值为()A.√32B.√22C.1D.12【答案】B【解析】解：如图：𝛼//平面𝐶𝐵1𝐷1，𝛼∩平面𝐴𝐵𝐶𝐷=𝑚，可知：𝑚//𝐵1𝐷1//𝐵𝐷，∴∠𝐷𝐵𝐶是直线m与直线BC所成角(或所成角的补角)，∵𝐵𝐶⊥𝐷𝐶，𝐵𝐶⊥𝐷𝐶，∴∠𝐷𝐵𝐶=45∘，∴sin∠𝐷𝐵𝐶=√22．∴直线m与直线BC所成角的正弦值为√22．故选：B．作出𝛼//平面𝐶𝐵1𝐷1，𝛼∩平面𝐴𝐵𝐶𝐷=𝑚，可知：𝑚//𝐵1𝐷1//𝐵𝐷，从而∠𝐷𝐵𝐶是直线m与直线BC所成角(或所成角的补角)，由此能求出直线m与直线BC所成角的正弦值．本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11.已知双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎0,𝑏0)，过其右焦点F作x轴的垂线交双曲线于A、B两点，若双曲线的左顶点C满足𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗≥0，则双曲线离心率的最大值是()A.√3B.2C.√5D.3【答案】B【解析】解：如图∵双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎0,𝑏0)，的左顶点为𝐶(−𝑎,0)，过其左焦点F作x轴的垂线交双曲线于𝐴(𝑐,𝑏2𝑎)，𝐵(𝑐,−𝑏2𝑎)两点，𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗≥0，可得：(𝑎+𝑐)2−𝑏4𝑎2≥0，∴𝑎2+𝑎𝑐≥𝑐2−𝑎2，∴𝑒2−𝑒−2=0，解得𝑒=2，或𝑒=−1舍去，故选：B．由已知条件，结合双曲线性质，通过𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗≥0，由此能求出双曲线的离心率的取值范围．本题考查双曲线的离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要注意数形结合思想的合理运用．12.如图，在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，E是棱𝐶𝐶1的中点，F是侧面内𝐵𝐶𝐶1𝐵1的动点，且𝐴1𝐹//平面𝐷1𝐴𝐸，给出下列命题：①点F的轨迹是一条线段；②𝐴1𝐹与𝐷1𝐸不可能平行；③𝐴1𝐹与BE是异面直线；④平面𝐴1𝐹𝐶1不可能与平面𝐴𝐸𝐷1平行．其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】解：对于①，设平面𝐴𝐷1𝐸与直线BC交于点G，连接AG、EG，则G为BC的中点，分别取𝐵1B、𝐵1𝐶1的中点M、N，连接AM、MN、AN，∵𝐴1𝑀//𝐷1𝐸，𝐴1𝑀⊄平面𝐷1𝐴𝐸，𝐷1𝐸⊂平面𝐷1𝐴𝐸，∴𝐴1𝑀//平面𝐷1𝐴𝐸.同理可得𝑀𝑁//平面𝐷1𝐴𝐸，∵𝐴1𝑀、MN是平面𝐴1𝑀𝑁内的相交直线∴平面𝐴1𝑀𝑁//平面𝐷1𝐴𝐸，由此结合𝐴1𝐹//平面𝐷1𝐴𝐸，可得直线𝐴1𝐹⊂平面𝐴1𝑀𝑁，即点F是线段MN上上的动点，①正确；对于②，由①知，平面𝐴1𝑀𝑁//平面𝐷1𝐴𝐸，当F与点M重合时，𝐴1𝐹//𝐷1𝐸，∴②错误；对于③，∵平面𝐴1𝑀𝑁//平面𝐷1𝐴𝐸，BE和平面𝐷1𝐴𝐸相交，∴𝐴1𝐹与BE是异面直线，③正确；对于④，由𝐹𝐶1与EG相交，可得平面𝐴1𝐹𝐶1与平面𝐴𝐸𝐷1相交，④正确．综上，以上正确的命题是①③④共3个．故选：D．①设平面𝐴𝐷1𝐸∩𝐵𝐶=𝐺，连接AG、EG，分别取𝐵1B、𝐵1𝐶1的中点M、N，连接AM、MN、AN，得F是线段MN上的动点；②由平面𝐴1𝑀𝑁//平面𝐷1𝐴𝐸，得点F与M重合时𝐴1𝐹与𝐷1𝐸平行；③由平面𝐴1𝑀𝑁//平面𝐷1𝐴𝐸，BE和平面𝐷1𝐴𝐸相交，得𝐴1𝐹与BE是异面直线；④由𝐹𝐶1与EG相交，可得平面𝐴1𝐹𝐶1与平面𝐴𝐸𝐷1相交．本题考查空间中的线线、线面、面面平行的判定定理和性质定理的应用，是综合题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知椭圆𝑥216+𝑦26=1的左右焦点分别为𝐹1，𝐹2，过右焦点𝐹2的直线AB与椭圆交于A，B两点，则△𝐴𝐵𝐹1的周长为______．【答案】16【解析】解：椭圆𝑥216+𝑦26=1的𝑎=4，三角形𝐴𝐵𝐹2的周长=|𝐴𝐵|+|𝐴𝐹2|+|𝐵𝐹2|=|𝐴𝐹1|+|𝐴𝐹2|+|𝐵𝐹1|+|𝐵𝐹2|=2𝑎+2𝑎=4𝑎=16．故答案为：16．三角形𝐴𝐵𝐹2的周长=|𝐴𝐵|+|𝐴𝐹2|+|𝐵𝐹2|=|𝐴𝐹1|+|𝐴𝐹2|+|𝐵𝐹1|+|𝐵𝐹2|=2𝑎+2𝑎=4𝑎．本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式，考