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2018-2019学年湖南省湘西州高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.复数21−𝑖=()A.iB.−𝑖C.1+𝑖D.1−𝑖【答案】C【解析】解：21−𝑖=2(1+𝑖)(1−𝑖)(1+𝑖)=2(1+𝑖)2=1+𝑖．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.已知等差数列{𝑎𝑛}中，𝑎5=10，𝑎7=14，则公差𝑑=()A.1B.2C.−2D.−1【答案】B【解析】解：由题意，𝑎7−𝑎5=4=2𝑑，∴𝑑=2，故选：B．利用等差数列的定义及通项公式可知𝑎7−𝑎5=4=2𝑑，故可求本题要求学生掌握等差数列的通项公式及定义，是一道基础题．3.“𝑥1”是“𝑥21”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：因为“𝑥1”⇒“𝑥21”，而“𝑥21”推不出“𝑥1”，所以“𝑥1”是“𝑥21”充分不必要条件．故选：A．直接利用充要条件的判断方法判断即可．本题考查充要条件的判定，基本知识的考查，注意条件与结论的判断．4.设△𝐴𝐵𝐶的内角A、B、C的对边分別为a、b、c，若∠𝐴=𝜋3,𝑎=√3,𝑏=1，则𝐵=()A.30∘B.45∘C.60∘D.150∘【答案】A【解析】解：∵𝑎𝑏，∴𝐴𝐵，即𝐵60∘，由正弦定理得𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵，得√3√32=1sin𝐵，即sin𝐵=12，则𝐵=30∘，故选：A．根据大边对大角，求出B的范围，结合正弦定理进行求解即可．本题主要考查正弦定理的应用，结合大角对大边大边对大角是解决本题的关键．5.具有线性相关关系得变量x，y，满足一组数据如表所示，若y与x的回归直线方程为𝑦̂=3𝑥−32，则m的值()x0123y−11m8A.4B.92C.5D.6【答案】A【解析】解：由表中数据得：𝑥=32，𝑦=𝑚+84，由于由最小二乘法求得回归方程𝑦∧=3𝑥−32，将𝑥=32，𝑦=𝑚+84代入回归直线方程，得𝑚=4．故选：A．根据表中所给的数据，做出横标和纵标的平均数，得到样本中心点，根据由最小二乘法求得回归方程𝑦∧=3𝑥−32，代入样本中心点求出该数据的值．本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．6.已知𝐹1，𝐹2是椭圆𝑥216+𝑦212=1的左、右焦点，直线l过点𝐹2与椭圆交于A、B两点，且|𝐴𝐵|=7，则△𝐴𝐵𝐹1的周长为()A.10B.12C.16D.3【答案】C【解析】解：椭圆𝑥216+𝑦212=1，可得𝑎=4，根据题意结合椭圆的定义可得：|𝐴𝐹1|+|𝐴𝐹2|=2𝑎=8，并且|𝐵𝐹1|+|𝐵𝐹2|=2𝑎=8，又因为|𝐴𝐹2|+|𝐵𝐹2|=|𝐴𝐵|，所以△𝐴𝐵𝐹1的周长为：|𝐴𝐹1|+|𝐵𝐹1|+|𝐴𝐵|=|𝐴𝐹1|+|𝐴𝐹2|+|𝐵𝐹1|+|𝐵𝐹2|=16．故选：C．利用椭圆的定义可得：|𝐴𝐹1|+|𝐴𝐹2|=2𝑎，|𝐵𝐹1|+|𝐵𝐹2|=2𝑎，并且|𝐴𝐹2|+|𝐵𝐹2|=|𝐴𝐵|，进而得到答案．解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆的定义.椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．7.设实数x，y满足约束条件{𝑥+3𝑦−3≤0𝑥−𝑦+2≥0𝑦≥0，则𝑧=𝑥+𝑦的最大值为()A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】解：由实数x，y满足约束条件{𝑥+3𝑦−3≤0𝑥−𝑦+2≥0𝑦≥0，作可行域如图，由𝑧=𝑥+𝑦，得𝑦=−𝑥+𝑧．要使z最大，则直线𝑦=−𝑥+𝑧的截距最大，由图看出，当直线𝑦=−𝑥+𝑧过可行域内的点𝐴(3,0)时直线在y轴上的截距最大，∴𝑧=𝑥+𝑦的最大值是𝑧=3．故选：D．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图看出使目标函数取得最大值的点，求出点的坐标，代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．8.已知抛物线𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝0)的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，𝑃𝐴⊥𝑙，垂足为A，若∠𝐴𝑃𝐹=60∘，则|𝑃𝐹|=()A.pB.2pC.√2𝑝D.√3𝑝【答案】B【解析】解：∵抛物线𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝0)的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，𝑃𝐴⊥𝑙，垂足为A．根据抛物线的定义P点到准线的距离=|𝑃𝐹|，又𝑃𝐹=𝑃𝐴，所以|𝑃𝐴|就是P点到准线的距离，即PA垂直于l，∵∠𝐴𝑃𝐹=60∘，△𝐴𝑃𝐹是正三角形，∴𝐹到准线l的距离为2p，PF为2p．故选：B．由抛物线的定义，结合已知条件求出AP，通过∠𝐴𝑃𝐹=60∘，求解|𝑃𝐹|．本题考查抛物线的简单性质以及定义的应用，是中档题．9.若双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎0,𝑏0)与直线𝑦=√3𝑥有交点，则其离心率的取值范围是()A.(1,2)B.(1.2]C.(2,+∞)D.[2,+∞)【答案】C【解析】解：如图所示，∵双曲线的渐近线方程为𝑦=±𝑏𝑎𝑥，双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎0,𝑏0)与直线𝑦=√3𝑥有交点，则有𝑏𝑎√3，∴𝑐2−𝑎2𝑎23，解得𝑒2=𝑐2𝑎24，𝑒2．故选：C．画出草图，求出双曲线的渐近线方程，若双曲线与直线𝑦=√3𝑥有交点，则应满足：𝑏𝑎√3，通过𝑏2=𝑐2−𝑎2，可得e的范围．本题考查了双曲线的渐近线和离心率，直线与双曲线相交等问题，常用数形结合的方法来考虑，是基础题．10.设函数𝑓(𝑥)在定义域内可导，𝑦=𝑓(𝑥)的图象如图所示，则导函数𝑓′(𝑥)的图象可能是()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：原函数的单调性是：当𝑥0时，增；当𝑥0时，单调性变化依次为增、减、增，故当𝑥0时，𝑓′(𝑥)0；当𝑥0时，𝑓′(𝑥)的符号变化依次为+、−、+．故选：C．先根据函数𝑓(𝑥)的图象判断单调性，从而得到导函数的正负情况，最后可得答案．本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．11.数列112，214，318，…，𝑛+12𝑛的前n项和为𝑆𝑛=()A.𝑛2−1𝑛B.𝑛(𝑛+1)2+2𝑛C.𝑛(𝑛+1)2−12𝑛+1D.𝑛2𝑛−1【答案】C【解析】解：数列112，214，318，…的前n项和为𝑆𝑛=(1+2+3+⋯+𝑛)+(12+14+18+⋯+12𝑛)=𝑛(𝑛+1)2+(12(1−12𝑛)1−12)=𝑛(𝑛+1)2−12𝑛+1．故选：C．利用分组求和即可得到数列的和．本题考查数列求和，等差数列以及等比数列求和，考查计算能力．12.已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥3+6𝑥2−3𝑥+1在区间(1,2)上是减函数，则实数a的取值范围是()A.(−∞,−3]B.(−∞,−74]C.[−3,−74]D.(−74,+∞]【答案】A【解析】解：∵𝑓(𝑥)=𝑎𝑥3+6𝑥2−3𝑥+1，∴𝑓′(𝑥)=3𝑎𝑥2+12𝑥−3，又∵𝑓(𝑥)在(1,2)上是减函数，∴𝑓′(𝑥)在(1,2)上恒有𝑓′(𝑥)≤0，即3𝑎𝑥2+12𝑥−3≤0在(1,2)上恒成立.𝑎≤1𝑥2−4𝑥=(1𝑥−2)2−4，因为𝑥∈(1,2)，所以1𝑥∈(12,1)，所以：𝑎≤−3．∴实数a的取值范围是{𝑎|𝑎≤−3}．故选：A．对函数𝑓(𝑥)求导，转化成𝑓′(𝑥)在(1,2)上有𝑓′(𝑥)≤0恒成立，从而求出a的取值范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性以及一元二次不等式的解法问题，是高考中的热点问题．二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）13.曲线𝑓(𝑥)=𝑥3−2𝑥在点(2,𝑓(2))处的切线方程为______．【答案】𝑦=10𝑥−16【解析】解：根据题意，𝑓(𝑥)=𝑥3−2𝑥，其导数，则𝑓(2)=4，，则在点(2,𝑓(2))处的切线方程为𝑦−4=10(𝑥−2)，即切线方程为𝑦=10𝑥−16．故答案为：𝑦=10𝑥−16．根据题意，由函数的解析式求导可得，进而可得𝑓(2)=4，，即可得切点的坐标以及切线的方程，由直线的点斜式方程即可得答案．本题考查利用导数分析曲线的切线方程，关键是掌握导数的几何意义，14.已知数列{𝑎𝑛}的前n项和𝑆𝑛=𝑛2−1，其中𝑛=1，2，3，…，那么𝑎5=______．【答案】9【解析】解：(法一)：由于𝑆𝑛=𝑛2−1∴𝑎5=𝑆5−𝑆4=24−15=9(法二)：由于𝑆𝑛=𝑛2−1∴𝑎𝑛=𝑠𝑛−𝑠𝑛−1=𝑛2−1−(𝑛−1)2+1=2𝑛−1(𝑛≥2)∴𝑎5=9故答案为：9(法一)：由递推公式可得递推公式，𝑎5=𝑆5−𝑆4，代入可求．(法二)：由𝑎𝑛=𝑠𝑛−𝑠𝑛−1=𝑛2−1−(𝑛−1)2+1可求𝑎𝑛(𝑛≥2)，然后把𝑛=5代入到通项公式可求本题主要考查了由递推公式𝑎𝑛=𝑠𝑛−𝑠𝑛−1=𝑛2−1−(𝑛−1)2+1(𝑛≥2)求解数列的通项公式的求解，属于基本公式的应用15.在△𝐴𝐵𝐶中，a，b，c分别是∠𝐴，∠𝐵，∠𝐶的对边.已知∠𝐴=60∘，𝑏=4，△𝐴𝐵𝐶的面积为3√3，则𝑎=______．【答案】√13【解析】解：∵三角形的面积𝑆=12𝑏𝑐sin𝐴=3√3，∴12×4𝑐×√32=3√3，即𝑐=3，则𝑎2=𝑏2+𝑐2−2𝑏𝑐cos𝐴=16+9−2×4×3×12=25−12=13，即𝑎=√13，故答案为：√13．根据三角形的面积求出c的值，结合余弦定理进行求解即可．本题主要考查三角形面积以及余弦定理的应用，根据面积公式求出c的值是解决本题的关键．16.已知两个正数x，y满足𝑥+𝑦=4，则使不等式1𝑥+4𝑦≥𝑚恒成立的实数m的范围是______．【答案】𝑚≤94【解析】解：由题意知两个正数x，y满足𝑥+𝑦=4，则1𝑥+4𝑦=𝑥+𝑦4𝑥+𝑥+𝑦𝑦=54+𝑦4𝑥+𝑥𝑦≥54+1=94，当𝑦4𝑥=𝑥𝑦时取等号；∴1𝑥+4𝑦的最小值是94，∵不等式1𝑥+4𝑦≥𝑚恒成立，∴𝑚≤94．故答案为：𝑚≤94．由题意将𝑥+𝑦=4代入1𝑥+4𝑦进行恒等变形和拆项后，再利用基本不等式求出它的最小值，根据不等式恒成立求出m的范围．本题考查了利用基本不等式求最值和恒成立问题，利用条件进行整体代换和合理拆项再用基本不等式求最值，注意一正二定三相等的验证．三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）17.已知双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎0,𝑏0)的实半轴长为2，半焦距为4．(1)求双曲线C的方程；(2)判断点(4,6)是否在双曲线C上．【答案】解：(1)由题意可得𝑎=2，𝑐=4，即有𝑏=√𝑐2−𝑎2=√16−4=2√3，可得双曲线的方程为𝑥24−𝑦212=1；(2)将(4,6)代入双曲线方程，可得164−3612=1，则点(4,6)在双曲线C上．【解析】(1)由题意可得a，c，由a，b，c的关系可得b，进而得到所求双曲线的方程；(2)将(4,6)代入双曲线的方程，检验是否成立，即可得到结论．本题考查双曲线的方程的求法，注意运用基本量的关系，考查方程思想和运算能力，属于基础题．18.在△𝐴𝐵𝐶中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且𝑎sin𝐶=√3𝑐cos𝐴．(1)求角A的大小；(2)若𝑏=6，𝑐=3，求a的