搜索
甘肃省兰州市2018-2019年高二上学期第二片区丙组期末联考数学试题（理）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知命题p：1∈𝑄，命题q：函数𝑓(𝑥)=1√𝑥−1的定义域是[1,+∞)，则以下为真命题的是()A.𝑝∧𝑞B.𝑝∨𝑞C.￢𝑝∧𝑞D.￢𝑝∨𝑞【答案】B【解析】解：∵命题p：1∈𝑄是真命题，命题q：函数𝑓(𝑥)=1√𝑥−1的定义域是[1,+∞)是假命题，∴在A中，𝑝∧𝑞是假命题，故A错误；在B中，𝑝∨𝑞是真命题，故B正确；在C中，￢𝑝∧𝑞是假命题，故C错误；在D中，￢𝑝∨𝑞是假命题，故D错误．故选：B．推导出命题p是真命题，命题q是假命题，从而𝑝∧𝑞是假命题，𝑝∨𝑞是真命题，￢𝑝∧𝑞是假命题，￢𝑝∨𝑞是假命题．本题考查命题真假的判断，考查或、且、非及复合命题的真假判断等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.椭圆𝑥225+𝑦216=1的离心率为()A.35B.45C.34D.1625【答案】A【解析】解：由椭圆𝑥225+𝑦216=1的方程可知，𝑎=5，𝑏=4，𝑐=3，∴离心率𝑒=𝑐𝑎=35，故选：A．由椭圆𝑥225+𝑦216=1的方程可知，a，b，c的值，由离心率𝑒=𝑐𝑎求出结果．本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，求出a、c的值是解题的关键．3.已知空间向量𝑎⃗⃗、𝑏⃗，𝑎⃗⃗⊥𝑏⃗，𝑎⃗⃗=(1,3，5)，则𝑏⃗的坐标可以是()A.(2,4，6)B.(2,6，10)C.(8,−1,−1)D.(5,−3,−1)【答案】C【解析】解：空间向量𝑎⃗⃗、𝑏⃗，𝑎⃗⃗⊥𝑏⃗，𝑎⃗⃗=(1,3，5)，在A中，当𝑏⃗=(2,4，6)时，𝑎⃗⃗⋅𝑏⃗=2+12+30=44≠0，故A错误；在B中，当𝑏⃗=(2,6，10)时，𝑎⃗⃗⋅𝑏⃗=2+18+50=70≠0，故B错误；在C中，当𝑏⃗=(8,−1,−1)时，𝑎⃗⃗⋅𝑏⃗=8−3−5=0，𝑎⃗⃗⊥𝑏⃗，故C正确；在D中，当𝑏⃗=(5,−3,−1)时，𝑎⃗⃗⋅𝑏⃗=5−9−5=−9≠0，故D错误．故选：C．利用向量垂直的性质直接求解．本题考查向量的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．4.命题“若𝑥2+𝑦2=0，则𝑥=0且𝑦=0”的否命题是()A.若𝑥2+𝑦2=0，则𝑥≠0且𝑦≠0B.若𝑥2+𝑦2=0，则𝑥≠0或𝑦≠0C.若𝑥2+𝑦2≠0，则𝑥≠0且𝑦≠0D.若𝑥2+𝑦2≠0，则𝑥≠0或𝑦≠0【答案】D【解析】解：命题“𝑥2+𝑦2=0，则𝑥=𝑦=0”的否定命题为：若𝑥2+𝑦2≠0，则𝑥≠0或𝑦≠0．故选：D．直接利用四种命题的逆否关系，写出否定命题即可．本题考查四种命题的逆否关系，注意命题的否定与否定命题的区别，是基础题．5.若方程𝑥2𝑚2−1−𝑦2𝑚−2=1表示双曲线，则m的取值范围是()A.𝑚2B.−1𝑚2C.−1𝑚1D.−1𝑚1或𝑚2【答案】D【解析】解：方程𝑥2𝑚2−1−𝑦2𝑚−2=1表示双曲线，可得：(𝑚2−1)(𝑚−2)0，解得：−1𝑚1或𝑚2．故选：D．利用双曲线的简单性质，列出不等式求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．6.以下各组向量中的三个向量，不能构成空间基底的是()A.𝑎⃗⃗=(1,0，0)，𝑏⃗=(0,2，0)，𝑐⃗=(12,−√2,0)B.𝑎⃗⃗=(1,0，0)，𝑏⃗=(0,1，0)，𝑐⃗=(0,0，2)C.𝑎⃗⃗=(1,0，1)，𝑏⃗=(0,1，1)，𝑐⃗=(2,1，2)D.𝑎⃗⃗=(1,1，1)，𝑏⃗=(0,1，0)，𝑐⃗=(1,0，2)【答案】A【解析】解：若空间三个向量𝑎⃗⃗，𝑏⃗，𝑐⃗能构成空间的基底，则向量𝑎⃗⃗，𝑏⃗，𝑐⃗不共面，对于选项A，因为：𝑎⃗⃗=(1,0，0，)，𝑏⃗=(0,2，0)，𝑐⃗=(12,−√2,0)，则𝑐⃗=12𝑎⃗⃗−√22𝑏⃗，即向量𝑎⃗⃗，𝑏⃗，𝑐⃗共面，故选项A中的三个向量不能构成空间基底，对于选项B，C，D中的三个向量均不共面，即能够构成空间的基底，故选：A．结合空间三个向量𝑎⃗⃗，𝑏⃗，𝑐⃗能构成空间的基底，则向量𝑎⃗⃗，𝑏⃗，𝑐⃗不共面，逐一检验即可本题考查了空间向量基本定理、正交分解及坐标表示，属简单题7.平面内，“动点P到两个定点的距离之和为正常数”是“动点P的轨迹是椭圆”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：若动点P到两个定点|𝐴𝐵|的距离之和为正常数2a，当2𝑎≤|𝐴𝐵|时，动点P的轨迹是线段AB，或不存在，故充分性不成立，若动点P的轨迹是椭圆，则满足，“动点P到两个定点的距离之和为正常数”，必要性成立，故平面内，“动点P到两个定点的距离之和为正常数”是“动点P的轨迹是椭圆”的必要不充分条件，故选：B．根据椭圆的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据椭圆的定义和性质是解决本题的关键．8.已知点𝐹1、𝐹2是椭圆𝑥2+2𝑦2=2的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|𝑃𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|的最小值是()A.0B.1C.2D.2√2【答案】C【解析】解：∵𝑂为𝐹1𝐹2的中点，∴𝑃𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑃𝑂⃗⃗⃗⃗⃗，可得|𝑃𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2|𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗|当点P到原点的距离最小时，|𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗|达到最小值，|𝑃𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|同时达到最小值．∵椭圆𝑥2+2𝑦2=2化成标准形式，得𝑥22+𝑦2=1∴𝑎2=2且𝑏2=1，可得𝑎=√2，𝑏=1因此点P到原点的距离最小值为短轴一端到原点的距离，即|𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗|最小值为𝑏=1∴|𝑃𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2|𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗|的最小值为2故选：C．根据向量的加法法则和三角形中线的性质，可得|𝑃𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|等于点P到原点距离的2倍，由此结合椭圆的标准方程和简单几何性质，即可得到|𝑃𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|的最小值是2．本题给出点𝐹1、𝐹2是椭圆的两个焦点，求椭圆上一个动点P指向两个焦点所成向量的和向量长度的最小值，着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．9.已知点𝐹1、𝐹2是椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎𝑏0)的左、右焦点，点A为椭圆与x轴正半轴的交点，点B为椭圆与y轴正半轴的交点，P是椭圆上一点，𝑃𝐹1与x轴垂直，𝑂𝑃//𝐴𝐵，若椭圆上存在点Q，使𝑄𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑄𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，则这样的Q点的个数为()A.4B.3C.2D.1【答案】C【解析】解：如图，𝐴(𝑎,0)，𝐵(0,𝑏)，𝑃(−𝑐,𝑏2𝑎).𝑘𝐴𝐵=−𝑏𝑎，𝑘𝑂𝑃=−𝑏2𝑎𝑐，由𝑂𝑃//𝐴𝐵，得−𝑏𝑎=−𝑏2𝑎𝑐，则𝑏=𝑐．∴以O为圆心，以𝐹1𝐹2为直径的圆与椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1有两个交点，为短轴的两端点．∴若椭圆上存在点Q，使𝑄𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑄𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，则Q为短轴的两端点，Q点的个数为2个．故选：C．由已知画出图形，求出A，B，P的坐标，由已知可得−𝑏𝑎=−𝑏2𝑎𝑐，得到𝑏=𝑐，由此可知，以O为圆心，以𝐹1𝐹2为直径的圆与椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1有两个交点，为短轴的两端点，则答案可求．本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆、椭圆与圆位置关系的应用，是中档题．10.已知点A、B在抛物线𝑥2=4𝑦上，直线AB的斜率为1，M为线段AB的中点，直线AC垂直于直线l：𝑦=−1，C为垂足，若C、B、𝑂(坐标原点)三点共线，则M到直线l的距离是()A.3B.4C.6D.8【答案】B【解析】解：如图，设AB：𝑦=𝑥+𝑚，联立{𝑥2=4𝑦𝑦=𝑥+𝑚，得𝑥2−4𝑥−4𝑚=0．设𝐴(𝑥1,𝑥124)，𝐵(𝑥2,𝑥224)，则𝐶(𝑥1,−1)．由根与系数的关系可得：𝑥1+𝑥2=4，𝑥1𝑥2=−4𝑚．由C、B、O三点共线，得−1𝑥1=𝑥24，即𝑥1𝑥2=−4．∴−4𝑚=−4，即𝑚=1．∴𝑀到直线l的距离是𝑦1+𝑦2+2=𝑥124+𝑥224+2=𝑥12+𝑥224+2=(𝑥1+𝑥2)2−2𝑥1𝑥24+2=42−2×44+2=4．故选：B．由已知画出图形，设AB：𝑦=𝑥+𝑚，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系结合C、B、O三点共线求得m，再由梯形中位线的性质求解．本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．11.已知实数x，y，z满足𝑥2+𝑦2+𝑧2=1，则√(𝑥−3)2+(𝑦−4)2+(𝑦−5)2的范围是()A.[6,5√2]B.[5√2−1,8]C.[6,8]D.[5√2−1,5√2+1]【答案】D【解析】解：实数x，y，z满足𝑥2+𝑦2+𝑧2=1，看做是以坐标原点为球心的球，√(𝑥−3)2+(𝑦−4)2+(𝑦−5)2的几何意义是球上的点与(3,4，5)的距离．可知最小值：√32+42+52−1=5√2−1，最大值为：√32+42+52+1=5√2+1，所以：√(𝑥−3)2+(𝑦−4)2+(𝑦−5)2的范围是：[5√2−1,5√2+1].故选：D．𝑥2+𝑦2+𝑧2=1，看做是以坐标原点为球心的球，√(𝑥−3)2+(𝑦−4)2+(𝑦−5)2的几何意义是球上的点与(3,4，5)的距离.然后求解范围即可．本题考查空间两点间距离公式的求法，表达式的几何意义，考查空间想象能力以及计算能力．12.以下三个命题：(1)若动点M到定点𝐴(−5,0)、𝐵(5,0)的连线斜率之积为定值−925，则动点M的轨迹为一个椭圆．(2)平面内到一定点的距离和到一定直线的距离相等的点的轨迹是一条抛物线．(3)若过原点的直线与圆(𝑥−2)2+𝑦2=4相交于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹为一个圆．其中真命题的个数为()A.0B.1C.2D.3【答案】A【解析】解：对于(1)，若动点M到定点𝐴(−5,0)、𝐵(5,0)的连线斜率之积为定值−925，设𝑀(𝑥,𝑦)，可得𝑦𝑥+5⋅𝑦𝑥−5=−925，即为𝑥225+𝑦29=1(𝑥≠±5)，则动点M的轨迹为一个椭圆(不包括x轴上的点)，故(1)错误；对于(2)，平面内到一定点的距离和到一定直线的距离相等，如果定点不在定直线上，可得动点的轨迹是一条抛物线；若定点在定直线上，可得动点的轨迹为过定点垂直于定直线的直线，故(2)错误；对于(3)，圆C：(𝑥−2)2+𝑦2=4的圆心𝐶(2,0)，半径为2，设𝐴(0,0)，若过原点的直线与圆C：(𝑥−2)2+𝑦2=4相交于A、B两点，由𝑀𝐶⊥𝐴𝐵，可得M的轨迹为以AC为直径的圆(不包括原点)，故(3)错误．其中真命题的个数为0．故选：A．由直线的斜率公式化简整理，注意去掉x轴上的点，即可判断(1)；由抛物线的定义，即可判断(2)；由圆内的垂径定理，即可判断(3)．本题考查轨迹方程的求法，注意运用方程思想和定义法，易错点：一些特殊点，考查运算能力，属于基础题和易错题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.抛物线𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝0)的焦点为𝐹(5,0)，则抛物线的标准方程为______．【答案】