1.某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和35,现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B,设甲、乙两组的研发相互独立.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;(2)若新产品A研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B研发成功,预计企业可获利润100万元,求该企业可获利润的分布列和数学期望.阿解:记E={甲组研发新产品成功},F={乙组研发新产品成功}.由题设知P(E)=23,P(E)=13,P(F)=35,P(F)=25.且事件E与F,E与F,E与F,E与F都相互独立.(1)记H={至少有一种新产品研发成功},则H=EF,于是P(H)=P(E)P(F)=13×25=215,故所求的概率为P(H)=1-P(H)=1-215=1315.(2)设企业可获利润为X(万元),则X的可能取值为0,100,120,220.P(X=0)=P(EF)=13×25=215,P(X=100)=P(EF)=13×35=315,P(X=120)=P(EF)=23×25=415,P(X=220)=P(EF)=23×35=615.故所求的X分布列为X0100120220P215315415615数学期望为E(X)=0×215+100×315+120×415+220×615=300+480+132015=210015=140.2.现有一游戏装置如图,小球从最上方入口处投入,每次遇到黑色障碍物等可能地向左、右两边落下.游戏规则为:若小球最终落入A槽,得10张奖票;若落入B槽,得5张奖票;若落入C槽,得重投一次的机会,但投球的总次数不超过3次.(1)求投球一次,小球落入B槽的概率;(2)设玩一次游戏能获得的奖票数为随机变量X,求X的分布列及数学期望.解:(1)由题意可知投一次小球,落入B槽的概率为122+122=12.(2)落入A槽的概率为122=14,落入B槽的概率为12,落入C槽的概率为122=14.X的所有可能取值为0,5,10,P(X=0)=143=164,P(X=5)=12+14×12+142×12=2132,P(X=10)=14+14×14+14×142=2164,X的分布列为X0510P16421322164E(X)=0×164+5×2132+10×2164=10516.3.在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手.(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求X的分布列及数学期望.解:(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”,B表示事件“观众乙选中3号歌手”,则P(A)=C12C23=23,P(B)=C24C35=35.∵事件A与B相互独立,∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P(AB)=P(A)·P(B)=P(A)[1-P(B)]=23×25=415.或PAB=C12·C34C23·C35=415(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”,则P(C)=C24C35=35,∵X可能的取值为0,1,2,3,且取这些值的概率分别为P(X=0)=P(ABC)=13×25×25=475,P(X=1)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=23×25×25+13×35×25+13×25×35=2075,P(X=2)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=23×35×25+23×25×35+13×35×35=3375,P(X=3)=P(ABC)=23×35×35=1875,∴X的分布列为:X0123P475207533751875∴X的数学期望E(X)=0×475+1×2075+2×3375+3×1875=14075=2815.4.一盒中装有9张各写有一个数字的卡片,其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片.(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数,求X的分布列与数学期望.(注:若三个数a,b,c满足a≤b≤c,则称b为这三个数的中位数.)解:(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为P=C34+C33C39=584.(2)X的所有可能值为1,2,3,且P(X=1)=C24C15+C34C39=1742,P(X=2)=C13C14C12+C23C16+C33C39=4384,P(X=3)=C22C17C39=112,故X的分布列为X123P17424384112从而E(X)=1×1742+2×4384+3×112=4728.5.已知一个口袋中装有n个红球(n≥1且n∈N*)和2个白球,从中有放回地连续摸三次,每次摸出两个球,若两个球颜色不同则为中奖,否则不中奖.(1)当n=3时,设三次摸球中(每次摸球后放回)中奖的次数为X,求X的分布列;(2)记三次摸球中(每次摸球后放回)恰有两次中奖的概率为P,当n取多少时,P最大?解:(1)当n=3时,每次摸出两个球,中奖的概率P=3×2C25=35.P(X=0)=C03253=8125;P(X=1)=C13·35·252=36125;P(X=2)=C23352·25=54125;P(X=3)=C33·353=27125.X的分布列为X0123P8125361255412527125(2)设每次摸球中奖的概率为p,则三次摸球(每次摸球后放回)恰有两次中奖的概率为P(X=2)=C23·p2·(1-p)=-3p3+3p2,0<p<1,P′=-9p2+6p=-3p(3p-2),知在0,23上P为增函数,在23,1上P为减函数,当p=23时,P取得最大值.所以p=C1nC12C2n+2=23,即n2-3n+2=0,解得n=1或n=2.6.某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示:全市100000名男生的身高服从正态分布N(168,16).现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高,测量发现被测学生身高全部介于160cm和184cm之间,将测量结果按如下方式分成6组:第1组[160,164),第2组[164,168),…,第6组[180,184],如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.(1)试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况;(2)求这50名男生身高在172cm以上(含172cm)的人数;(3)在这50名男生身高在172cm以上(含172cm)的人中任意抽取2人,将该2人中身高排名(从高到低)在全市前130名的人数记为X,求X的数学期望.参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9544,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.9974.解:(1)由频率分布直方图,经过计算得该校高三年级男生平均身高为162×5100+166×7100+170×8100+174×2100+178×2100+182×1100×4=168.72,高于全市的平均值168.(2)由频率分布直方图知,后3组频率为(0.02+0.02+0.01)×4=0.2,人数为0.2×50=10,即这50名男生身高在172cm以上(含172cm)的人数为10.(3)∵P(168-3×4<X≤168+3×4)=0.9974,∴P(X≥180)=1-0.99742=0.0013,0.0013×100000=130.∴全市前130名的身高在180cm以上,这50人中180cm以上的有2人.随机变量X可取0,1,2,于是P(X=0)=C28C210=2845,P(X=1)=C18C12C210=1645,P(X=2)=C22C210=145,∴E(X)=0×2845+1×1645+2×145=25.