福建省20182019学年福清第一中学高二下学期综合检测数学试题

2019综合检测卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知𝑧是z的共轭复数，且|𝑧|−𝑧=1−2𝑖，则z的虚部是（）A.1B.−1C.2D.−22.已知f（x）=f'（1）+xlnx，则f（e）=（）A.1+𝑒B.eC.2+𝑒D.33.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋4n＝8n2＋2n（n∈N*），则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上（）.A.4𝑘+1B.4(𝑘+1)C.8(𝑘+1)2+2(𝑘+1)D.(4𝑘+1)+(4𝑘+2)+(4𝑘+3)+(4𝑘+4)4.设f0（x）=cosx，f1（x）=f0′（x），f2（x）=f1′（x），…，fn+1（x）=fn′（x）（n∈N），则f2016（x）=（）A.sin𝑥B.−sin𝑥C.cos𝑥D.−cos𝑥5.若复数z=1-i，𝑧为z的共轭复数，则复数𝑖𝑧𝑧−1的虚部为（）A.iB.−𝑖C.1D.−16.已知R上可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x2-2x-3）f′（x）＞0的解集为（）A.(−∞,−2)∪(1,+∞)B.(−∞,−2)∪(1,2)C.(−∞,−1)∪(−1,0)∪(2,+∞)D.(−∞,−1)∪(−1,1)∪(3,+∞)7.已知P（X，y）是椭圆{𝑥=√3𝑐𝑜𝑠𝛼𝑦=𝑠𝑖𝑛𝛼上任意一点，则点P到x-√3y-4=0的距离的最大值为（）A.4−√62B.4+√62C.2+√3D.2=√38.设x，y，z0，则三个数𝑦𝑥＋𝑦𝑧，𝑧𝑥＋𝑧𝑦，𝑥𝑧＋𝑥𝑦（）A.都大于2B.至少有一个大于2C.至少有一个不小于2D.至少有一个不大于2[来源:学,科,网]9.已知a＞0，函数f（x）=x2+alnx-ax在（0，+∞）上是增函数，则a的最大值为（）A.2B.2√2C.4D.810.若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3-ax2-2bx+2在x=2处有极值，则ab的最大值等于（）A.121B.144C.72D.8011.已知f（x）是定义在R上的偶函数，其导函数为f′（x），若f′（x）＜f（x），且f（x+1）=f（3-x），f（2011）=3，则不等式f（x）＜3ex-1的解集为（）A.(𝑒,+∞)B.(1,+∞)C.(−∞,0)D.(−∞,1𝑒)12.若函数f（x）满足：x3f′（x）+3x2f（x）=ex，f（1）=e，其中f′（x）为f（x）的导函数，则（）A.𝑓(1)𝑓(3)𝑓(5)B.𝑓(1)𝑓(5)𝑓(3)C.𝑓(3)𝑓(1)𝑓(5)D.𝑓(3)𝑓(5)𝑓(1)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13、0224xxdx14,函数f（x）=x+2cosx（0≤x≤2π）的单调递减区间为______．15若函数y=lnx+ax2-（2a+1）x（a＞0）在x=1处取得极小值，则a的取值范围是______．16．已知实数，，满足，其中是自然对数的底数，那么的最小值为________三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17,已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=-23与x=1时都取得极值．（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间；（2）若对x∈[-1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．18,在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心为极坐标：C（√2，𝜋4），半径r=√3．（1）求圆C的极坐标方程；（2）若过点P（0，1）且倾斜角α=𝜋6的直线l交圆C于A，B两点，求|PA|2+|PB|2的值．19,已知函数𝑓𝑛(𝑥)=13𝑥3−12(𝑛+1)𝑥2+𝑥(𝑛∈𝑁∗)，数列{𝑎𝑛}满足𝑎𝑛+1=𝑓’𝑛(𝑎𝑛)，𝑎1=3.(1)是否存在n，使得𝑓𝑛(𝑥)在𝑥=1处取得极值，若存在，求n的值，若不存在，说明理由；(2)求𝑎2，𝑎3，𝑎4的值，请猜想数列{𝑎𝑛}的通项公式，并用数学归纳法证明.20,设函数𝑓(𝑥)=−𝑎ln𝑥𝑥+𝑥−𝑎+2(𝑎∈𝑅)．（1）当曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(1,𝑓(1))处的切线与直线𝑦=𝑥垂直时，求实数𝑎的值；（2）若函数𝐹(𝑥)=𝑓(𝑥)+𝑎24𝑥有两个零点，求实数𝑎的取值范围．21,如图，有一块半径为40m的半圆形空地，开发商计划征地建一个矩形游泳池ABCD和其附属设施，附属设施占地形状是等腰△CDE，其中O为圆心，A，B在圆的直径上，C，D，E在圆周上．（1）按下列要求建立函数关系式：①设𝐵𝑂=𝑥𝑚，将征地面积表示为𝑥的函数𝑓(𝑥)，并写出定义域；②设∠𝐵𝑂𝐶=𝜃𝑟𝑎𝑑，将征地面积表示为𝜃的函数𝑔(𝜃)，并写出定义域；（2）请选用（1）中的一个函数关系，求征地面积的最大值．22,已知函数𝑓(𝑥)=𝑚𝑥ln𝑥，曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(𝑒2,𝑓(𝑒2))处的切线与直线2𝑥+𝑦=0垂直(其中e为自然对数的底数)．(1)求𝑓(𝑥)的解析式及单调递减区间；(2)是否存在常数k，使得对于定义域内的任意x，𝑓(𝑥)𝑘ln𝑥+2√𝑥恒成立，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．答案和解析1-5DADCC6--10DB【解析】解：根据题意，P（x，y）是椭圆上任意一点，设P的坐标为（cosα，sinα），则点P到x-y-4=0的距离d===，当sin（α+）=-1时，d取得最大值，故选：B．根据题意，设P的坐标为（cosα，sinα），由点到直线的距离公式可得点P到x-y-4=0的距离d=，变形可得d=，由正弦函数的性质分析可得答案．本题考查参数方程的应用，注意点到直线的距离公式的应用，属于基础题．8.【答案】C9.【答案】D解：∵f（x）=x2+alnx-ax，∴f′（x）=2x+-a=∵函数f（x）=x2+alnx-ax在（0，+∞）上是增函数，∴f′（x）=2x+-a＞0，在（0，+∞）上恒成立，∴2x2-ax+a＞0在（0，+∞）上恒成立，当a＜0时，显然不可能恒成立；当a=0时，显然恒成立；当a＞0时，△=a2-8a≤0，故a≤8；综上所述，实数a的取值范围为[0，8]；10.【答案】C11.【答案】B【解析】解：因为函数f（x）是偶函数，所以f（x+1）=f（3-x）=f（x-3），所以f（x+4）=f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数．因为f（2011）=f（-1）=f（1）=3，设g（x）=，所以g′（x）==＜0，所以g（x）在R上是单调递减，不等式f（x）＜3ex-1等价于，即g（x）＜g（1），所以x＞1．所以不等式f（x）＜3ex-1的解集为（1，+∞），故选：B．[来源:学科网]12.【答案】D解：由x3f′（x）+3x2f（x）=ex，得到[x3f（x）-ex]'=0，设x3f（x）-ex=c，因为f（1）=e，所以c=0，∴x=0不满足题意，x≠0时，f（x）=，f′（x）=，所以f（3）＜f（5）＜f（1）．故选：D．13,214【答案】（𝜋6，5𝜋6）15\解：y′=+2ax-（2a+1）=，（a＞0），令y′=0，得x=1或．∵函数y=lnx+ax2-（2a+1）x（a＞0）在x=1处取得极小值，∴，解得.16,因为实数满足，所以，，，所以点在曲线上，点在曲线上，的几何意义就是曲线上的点到曲线上的点的距离的平方，最小值即为曲线上与直线平行的切线，因为，求曲线上与直线平行的切线即，解得，所以切点为，该切点到直线的距离，就是所求两曲线间的最小距离，所以的最小值为。17.【答案】解；（1）f（x）=x3+ax2+bx+c，f'（x）=3x2+2ax+b由{𝑓′(−23)=129−43𝑎+𝑏=0𝑓′(1)=3+2𝑎+𝑏=0解得，{𝑎=−12𝑏=−2f'（x）=3x2-x-2=（3x+2）（x-1），函数f（x）的单调区间如下表：x（-∞，-23）-23（-23，1）1[来源:学+科+网Z+X+X+K]（1，+∞）f′（x）+[来源:学科网ZXXK]0-0+f（x）↑极大值↓极小值↑所以函数f（x）的递增区间是（-∞，-23）和（1，+∞），递减区间是（-23，1）．（2）𝑓(𝑥)=𝑥3−12𝑥2−2𝑥+𝑐，𝑥∈[−1，2]，当x=-23时，f（x）=2227+c为极大值，而f（2）=2+c，所以f（2）=2+c为最大值．要使f（x）＜c2对x∈[-1，2]恒成立，须且只需c2＞f（2）=2+c．解得c＜-1或c＞2．18.【答案】解：（1）∵圆C的圆心为极坐标：C（√2，𝜋4），∴𝑥=√2𝑠𝑖𝑛𝜋4=1，y=√2𝑐𝑜𝑠𝜋4=1，∴点C直角坐标C（1，1），∵半径r=√3，∴圆C的直角坐标方程为（x-1）2+（y-1）2=3,由{𝑥=𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦=𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃，得圆C的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-2ρsinθ-1=0;（2）∵过点P（0，1）且倾斜角α=𝜋6的直线l交圆C于A，B两点，∴直线l的参数方程为{𝑥=√32𝑡𝑦=1+12𝑡,把直线l的参数方程代入圆C：（x-1）2+（y-1）2=3，得（√32𝑡−1）2+（12𝑡）2=3，整理，得𝑡2−√3𝑡−2=0，𝑡1+𝑡2=√3，t1t2=-2，∴|PA|2+|PB|2=|𝑡1|2+|t2|2=（t1+t2）2-2t1•t2=7.19、解：(1)求导可得函数在𝑥=1处取极值，解得𝑛=1此时，恒成立，函数恒递增故而不存在n使得函数在𝑥=1处取极值．(2)由(1)知𝑎𝑛+1=𝑎𝑛2−(𝑛+1)𝑎𝑛+1又𝑎1=3[来源:Z#xx#k.Com]∴𝑎2=9−6+1=4，𝑎3=16−12+1=5，𝑎4=25−20+1=6因此归纳可得：𝑎𝑛=𝑛+2现用数学归纳法进行证明：1)当𝑛=1时，𝑎𝑛=𝑛+2明显成立；2)设当𝑛=𝑘(𝑘∈𝑁∗)时，𝑎𝑘=𝑘+2∴当𝑛=𝑘+1时，𝑎𝑘+1=𝑎𝑘2−(𝑘+1)𝑎𝑘+1=(𝑘+2)2−(𝑘+1)(𝑘+2)+1=𝑘+3=(𝑘+1)+2满足𝑎𝑛=𝑛+2综合1)2)可得：𝑎𝑛=𝑛+2对任意的𝑛∈𝑁∗恒成立．问题得证．20.【答案】解：（1）由题意知，函数f(x)的定义域为(0,+∞)，，∴f'(1)=1-a=-1，解得a=2；（2）若函数𝐹(𝑥)=𝑓(𝑥)+𝑎24𝑥有两个零点，则方程恰有两个不相等的正实根，即方程恰有两个不相等的正实根.设函数，∴𝑔′(𝑥)=2𝑥−(𝑎−2)−𝑎𝑥=2𝑥2−(𝑎−2)𝑥−𝑎𝑥=(2𝑥−𝑎)(𝑥+1)𝑥.当a≤0时，g'(x)0恒成立，则函数g(x)在(0,+∞)上是增函数，∴函数g(x)最多一个零点，不合题意，舍去；当a0时，令g'(x)0，解得𝑥𝑎2，令g'(x)0，解得0𝑥𝑎2，则函数g(x)在(0,𝑎2)内单调递减，在上单调递增.易知x→0时，g(x)0恒成立，要使函数g(x)有2个正零点，则g(x)的最小值𝑔(𝑎2)0，即，即，∵a0，∴，解得a2e，即实数a的取值范围为(2e,+∞).21.【答案】解：（1）连接𝑂𝐸，则征地面积为2S梯形OBCE．①由条件可得𝐵𝐶=√𝑂𝐶2−𝑂𝐵2=√1600−𝑥2，所以𝑓(𝑥)=𝑥(40＋√1600−𝑥2)，0𝑥40．②由条件可得𝑂𝐵=40𝑐𝑜𝑠⁡𝜃，𝐵𝐶=40𝑠𝑖𝑛⁡𝜃，所以𝑔(𝜃)=1600(𝑠𝑖𝑛⁡𝜃𝑐𝑜𝑠⁡𝜃＋𝑐𝑜𝑠⁡𝜃)，0𝜃𝜋2．（2）选用𝑔(𝜃)：𝑔′(𝜃)=−1600(2𝑠𝑖𝑛⁡𝜃−1)(𝑠𝑖𝑛⁡𝜃＋1)．令𝑔′(𝜃)=0，∴𝑠𝑖