立体几何高考冲刺押题

ABCDC1D1A1B1(O)xyz立体几何高考冲刺押题【押题1】已知正方体1111ABCDABCD的棱长为a．（Ⅰ）求点1C到平面11ABD的距离；(Ⅱ)求平面11CDDC与平面11ABD所成的二面角(结果用反三角函数值表示)．【押题指数】★★★★★【解析】（Ⅰ）按如图所示建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为(000)A，，、1(0)Daa，，、1()Baa，0，、1()Caaa，，，向量1()CAaaa，，，1(0)ADaa，，，1()ABaa，0，．2分设()nxyz，，是平面11ABD的法向量，于是，有[来源:学|科|网Z|X|X|K]1100nADnAB，即00ayazaxaz．令1z，得11xy，．于是平面11ABD的一个法向量是(1)n，1，-15分因此，1C到平面11ABD的距离1||33||CAndan．(也可用等积法求得)8分(Ⅱ)由（Ⅰ）知，平面11ABD的一个法向量是(111)n，，．又因11ADCDDC平面，故平面11CDDC的一个法向量是1(010)n，，10分设所求二面角的平面角为(结合图形可知二面角是锐角，即为锐角)，则11||3cos3||||nnnn13分所以，平面11CDDC与平面11ABD所成的二面角为3arccos3．【押题2】如图所示，在直三棱柱ABC—A1B1C1（侧棱和底面垂直的棱柱）中，有ACAB，AC=AB=AA1=2，E，F分别是棱AB，A1C1的中点。（I）证明：EF//平面BCC1B1；（II）求点C1到平面AFB1的距离。【押题指数】★★★★★BACDOEFMG【解析】（Ⅰ）如图：作11BC的中点D,连接FD、BD，EBFDEBFDBAFBBAFBBAFDBAFD且且且//2121//2121//11111111BDFEFEBD//是平行四边形四边形111111////FEBDBDBCCBEFBCCBEFBCCB平面平面平面-------------6分(Ⅱ)可以计算出115,22AFBFAB,所以16AFBS,设点1C到平面1AFB的距离为h，则由111111111133CAFBABFCAFBBFCVVShSAA,即可算得63h-----13分【押题3】在多面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，三角形CDE是等边三角形，棱//EFBC且12EFBC（Ⅰ）证明：//FO平面CDE；（Ⅱ）设23BC，2CD，3OE，求EC与平面ABCD所成角的正弦值。网]|【押题指数】★★★★★【解析】（Ⅰ）取CD中点M，连结OM．1分在矩形ABCD中，1//2OMBC，又1//2EFBC，则//OMEF，………………3分连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形．∴//FOEM………………5分又FO平面CDE，且EM平面CDE，∴FO∥平面CDE……6分（Ⅱ）连结FM，由（Ⅰ）和已知条件，在等边△CDE中，,CMDMEMCD且3EM，又132EFBC．因此平行四边形EFOM为菱形，…8分过E作EGOM于G∵,CDEMCDOM，∴CD平面EOM，∴CDEG因此EG平面ABCD所以EGC为EC与底面ABCD所成角…10分在EOM中3OMMEOE，则EOM为正三角形。FAECB1B1A1CD∴点E到平面ABCD的距离为32EG，………………12分所以3sin4EGECGEC即EC与平面CDF所成角的正弦值为34。……14分【押题4】在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=1，侧棱AA1=2，M，N分别为棱AA1、BC的中点，点P在边A1B1上，且A1P=2PB1。（1）求证：MN⊥AP；（2）求二面角M—AN—P的正切值。【押题指数】★★★★★【解析】（1）证明：过点N作NH⊥AB于H，连结MN。∵ABC—A1B1C1为直三棱柱，且NH⊥AB，∴NH⊥面ABB1A1，∴MH为MN在面ABB1A1内的射影，且AH=3243,tan,2AHRtMAHAMHAM在中111111113,tan,2,90,.AARtAAPAPAAPAMHAPAAAPAMHAAPAPAMHAP在中由三垂线定理知MN⊥AP。…………6分（2）取B1C1的中点D，连结DN、DA1过点P作PF⊥AD于E，过E作EF⊥AN于F，连结PF，由三垂线定理知：∠PFE为二面角M—AN—P的平面角。222111111111111111310,cos,21025251015,sin,tan.15152ABADBDABDBADABADPERtPEAPEAPBADPFEEF在中在中[来源:学科网ZXXK]故二面角M—AN—P的正切值为10.15…………12分【押题5】已知在四边形ABCD中,AD=DC=2,AB=42,BC=26,DCAD,沿AC折叠,使D在底面ABC上的射影P在ABC边AB的高线上.（Ⅰ）设E为AC中点,求证://PEBCD平面;(Ⅱ)求BD与平面ABC的所成角的正切值.【押题指数】★★★★★22223sin,60,3026230,30,,6332360,322cos6042............11323,3ABCCABCABABCACHACHPECACHPEPCDPEDEPEBCPPBPCCBPCCBDBPPB2在Rt中，在Rt中,在Rt中,CE=2在Rt中,DP,DP=在中,BCP=分在Rt中,DP=21442tan............15314DPDBPPB分注:考生用坐标法求解,可酌情给分.【押题6】如图,长方体1111DCBAABCD中，11AAAB,2AD,E是BC的中点.（Ⅰ）求证：直线//1BB平面DED1；(Ⅱ)求证：平面AEA1平面DED1；(Ⅲ)求三棱锥DEAA1的体积.【押题指数】★★★★★【解析】（Ⅰ）证明：在长方体1111DCBAABCD中,11//DDBB，又∵1BB平面DED1，1DD平面DED1∴直线//1BB平面DED1……4分(Ⅱ)：在长方形ABCD中,∵11AAAB,2AD,∴2DEAE,∴2224ADDEAE,故DEAE,…6分∵在长方形ABCD中有1DD平面ABCD,AE平面ABCD,∴1DDAE,7分又∵DDEDD1,∴直线AE平面DED1,8分而AE平面AEA1,所以平面AEA1平面DED1.…10分(Ⅲ)DEAAV1ADEADEASAAV1311312121131.…14分【押题7】如图在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，过D与PB垂直的平面分别交PB、PC于F、E。（Ⅰ）求证：DE⊥PC；(Ⅱ)当PA//平面EDB时求二面角E—BD—C的正切值。【押题指数】★★★★★【解析】（Ⅰ）PB平面DEFDEPB…1分又PD平面ABCD又DCBCPDCBC面PDCDE平面DEBC从而DE⊥平面PBCPCDE5分(Ⅱ)连AC交BD于O，连EO由PA//平面EDB及平面EDB∩平面PAC于EO知PA//EOO是正方形ABCD的对角线AC的中点E为PC的中点又PCDEDCPD设PD=DC=a，取DC的中点H，作HG//CO交BD于G，则HG⊥DB，EH//PDEH平面CDB。由三垂线定理知EG⊥BD故EGH为二面角E—BD—C的一个平面角。…9分易求得aOCHGaPDEH2221,212122tanGHEHEGH∴二面角E—BD—C的正切值为.2212分．【押题8】如图，PA平面ABC，ABBC．AD垂直于PB[来源:Zxxk.Com]于D，AE垂直于PC于E．PA＝2，AB＝BC=1．（Ⅰ）求证：PC平面ADE；(Ⅱ)求AB与平面ADE所成的角；(Ⅲ)Q为线段AC上的点，试确定点Q的位置，使得BQ∥平面ADE．ABCPDE【押题指数】★★★★★【解】法一：（Ⅰ）证明：因为ABCPA平面，所以BCPA,又BCAB,所以PABBC平面,则ADBC,……2分又PBAD,所以PBCAD平面,得ADPC又AEPC,所以ADEPC平面．…4分(Ⅱ)在平面PBC上，过点B作BF平行于PC交ED延长线于点F，连结AF,因为ADEPC平面,所以ADEBF平面,所以BAF为直线AB和平面ADE所成的角．6分在三角形PBC中，PD=332，则BD=33，得BF=21．在BFART中，21sinBABFBAF，所以直线AB与平面ADE所成的角为30．………9分(Ⅲ)过点B作BM∥DE交PC于点M,过M作MQ∥AE交AC于点Q，则平面BMQ∥平面ADE,得BQ∥平面ADE,点Q即为所求的点.………11分下面确定点Q的位置。因为BM∥DE，则32PBPDPMPE,可得点M为CE的中点，因为MQ∥AE，所以点Q为AC中点．……13分解法二：（1）同解法一(Ⅱ)过点B作BZ∥AP,则BZ平面ABC,如图所示，分别以BA,BC,BZ所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系。则A（1，0，0）,C（0，1，0）,P（1，0，2）因为ADEPC平面设向量ABPC与所成的角为，则1,1,21,0,01cos22PCABPCAB，则直线AB与平面ADE所成的角为30．9分[来源:Zxxk.Com](Ⅲ)因为ADEPC平面,所以BQPC又PA平面ABC得ACBQ,所以Q为AC的中点13分【押题9】在四棱锥PABCD中，侧面PCD底面ABCD，PDCD，底面ABCD是直角梯形，//ABCD，ADC=90°,1ABADPD，2CD.（Ⅰ）求证：BC平面PBD；【押题10】如图1，在平面内，ABCD是60,BADABa且的菱形，ADD``A1和CDD`C1都是正方形．将两个正方形分别沿AD，CD折起，使D``与D`重合于点D1.设直线l过点B且垂直于菱形ABCD所在的平面，点E是直线l上的一个动点，且与点D1位于平面ABCD同侧（图2）．（Ⅰ）设二面角E–AC–D1的大小为，若43，求线段BE长的取值范围；(Ⅱ)在线段1DE上存在点P，使平面11//PAC平面EAC，求1DPPE与BE之间满足的关系式，并证明：当0BEa时，恒有1DPPE1．【押题指数】★★★★★【解析】（方法1）设菱形ABCD的中心为O，以O为原点，对角线AC，BD所在直线分别为x,y轴，建立空间直角坐标系如图1．设BE=t（t0）．（Ⅰ）133(,0,0),(,0,0),(0,,),(0,,).2222aaAaCaDaEt13(,,),(3,0,0),22aADaaACa（第20题–1）设平面1DAC的法向量为111(,,1)nxy，则1111111130,0,0,222.0.30.anADxaxyaynACax1(0,2,1).n3分3(,,),22aAEat设平面EAC的法向量为222(,,1)nxy，则222222230,0,0,222.0.30.axnAEaxyttynACaxa22(0,,1).tna4分设二面角1EACD的大小为，则1222124cos||||205nntannta6分∵cos12[,]22，[来源:Z_xx_k.Com]∴12224||205tata22解得85322at32a所以BE的取值范围是[85322a，32