第1章121同步训练及解析高中数学练习试题1

1人教A高中数学必修5同步训练1．某次测量中，若A在B的南偏东40°，则B在A的()A．北偏西40°B．北偏东50°C．北偏西50°D．南偏西50°答案：A2．已知A、B两地间的距离为10km，B、C两地间的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A、C两地间的距离为()A．10kmB．103kmC．105kmD．107km解析：选D.由余弦定理可知：AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC.又∵AB＝10，BC＝20，∠ABC＝120°，∴AC2＝102＋202－2×10×20×cos120°＝700.∴AC＝107.3．在一座20m高的观测台测得对面一水塔塔顶的仰角为60°，塔底的俯角为45°，观测台底部与塔底在同一地平面，那么这座水塔的高度是________m.解析：h＝20＋20tan60°＝20(1＋3)m.答案：20(1＋3)4．如图，一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°.求此时船与灯塔间的距离．解：BCsin∠BAC＝ACsin∠ABC，且∠BAC＝30°，AC＝60，∠ABC＝180°－30°－105°＝45°.∴BC＝302.即船与灯塔间的距离为302km.一、选择题1．在某次测量中，在A处测得同一方向的B点的仰角为60°，C点的俯角为70°，则∠BAC等于()A．10°B．50°C．120°D．130°解析：选D.如图，∠BAC等于A观察B点的仰角与观察C点的俯角和，即60°＋70°＝130°.2．一艘船以4km/h的速度沿着与水流方向成120°夹角的方向航行，已知河水流速为2km/h，则经过3h，该船的实际航程为()2A．215kmB．6kmC．221kmD．8km解析：选B.v实＝22＋42－2×4×2×cos60°＝23.∴实际航程＝23×3＝6(km)．故选B.3.如图所示，D，C，B在同一地平面的同一直线上，DC＝10m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高度AB等于()A．10mB．53mC．5(3－1)mD．5(3＋1)m解析：选D.在△ADC中，AD＝10·sin135°sin15°＝10(3＋1)(m)．在Rt△ABD中，AB＝AD·sin30°＝5(3＋1)(m)．4．我舰在敌岛A处南偏西50°的B处，且AB距离为12海里，发现敌舰正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度大小为()A．28海里/小时B．14海里/小时C．142海里/小时D．20海里/小时解析：选B.如图，设我舰在C处追上敌舰，速度为v，则在△ABC中，AC＝10×2＝20(海里)，AB＝12海里，∠BAC＝120°，∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos120°＝784，∴BC＝28海里，∴v＝14海里/小时．5．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，则B城市处于危险区内的持续时间为()A．0.5小时B．1小时C．1.5小时D．2小时解析：选B.设t小时后，B市处于危险区内，则由余弦定理得：(20t)2＋402－2×20t×40cos45°≤302.化简得：4t2－82t＋7≤0，∴t1＋t2＝22，t1·t2＝74.从而|t1－t2|＝t1＋t22－4t1t2＝1.36．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°、30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500米，则电视塔在这次测量中的高度是()A．1002米B．400米C．2003米D．500米解析：选D.由题意画出示意图，设高AB＝h，在Rt△ABC中，由已知BC＝h，在Rt△ABD中，由已知BD＝3h，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD，得3h2＝h2＋5002＋h·500，解之得h＝500(米)，故选D.二、填空题7．一树干被台风吹断，折断部分与残存树干成30°角，树干底部与树尖着地处相距5米，则树干原来的高度为________米．答案：10＋538.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的__________．解析：由题意可知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°.∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝50°，从而所求为北偏西10°.答案：北偏西10°9．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90海里．此时海盗船距观测站107海里，20分钟后测得海盗船距观测站20海里，再过________分钟，海盗船即可到达商船．解析：如图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A、B、C处，20分钟后，海盗船到达D处，在△ADC中，AC＝107，AD＝20，CD＝30，由余弦定理得cos∠ADC＝AD2＋CD2－AC22AD·CD＝400＋900－7002×20×30＝12.∴∠ACD＝60°，在△ABD中由已知得∠ABD＝30°.∠BAD＝60°－30°＝30°，∴BD＝AD＝20，2090×60＝403(分钟)．答案：403三、解答题410．如图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，在河岸边选定两点C、D，测得CD＝1000米，∠ACB＝30°，∠BCD＝30°，∠BDA＝30°，∠ADC＝60°，求AB的长．解：由题意知△ACD为正三角形，所以AC＝CD＝1000米．在△BCD中，∠BDC＝90°，所以BC＝CDcos∠BCD＝1000cos30°＝200033米．在△ACB中，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos30°＝10002＋200023－2×1000×200033×32＝10002×13，所以AB＝100033米．11．如图，地面上有一旗杆OP，为了测得它的高度，在地面上选一基线AB，测得AB＝20m，在A处测得点P的仰角为30°，在B处测得点P的仰角为45°，同时可测得∠AOB＝60°，求旗杆的高度(结果保留1位小数)．解：设旗杆的高度为h，由题意，知∠OAP＝30°，∠OBP＝45°.在Rt△AOP中，OA＝OPtan30°＝3h.在Rt△BOP中，OB＝OPtan45°＝h.在△AOB中，由余弦定理，得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OBcos60°，即202＝(3h)2＋h2－23h×h×12.解得h2＝4004－3≈176.4.∴h≈13(m)．∴旗杆的高度约为13m.12．一商船行至索马里海域时，遭到海盗的追击，随即发出求救信号．正在该海域执行护航任务的海军“黄山”舰在A处获悉后，即测出该商船在方位角为45°距离10海里的C处，并沿方位角为105°的方向，以9海里/时的速度航行．“黄山”舰立即以21海里/时的速度前去营救．求“黄山”舰靠近商船所需要的最少时间及所经过的路程．解：如图所示，若“黄山”舰以最少时间在B处追上商船，则A，B，C构成一个三角形．设所需时间为t小时，5则AB＝21t，BC＝9t.又已知AC＝10，依题意知，∠ACB＝120°，根据余弦定理，AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BCcos∠ACB.∴(21t)2＝102＋(9t)2－2×10×9tcos120°，∴(21t)2＝100＋81t2＋90t，即360t2－90t－100＝0.∴t＝23或t＝－512(舍)．∴AB＝21×23＝14(海里)．即“黄山”舰需要用23小时靠近商船，共航行14海里．