第2章221同步练习高中数学练习试题

1高中数学人教A版选2-1同步练习1.若P是以F1、F2为焦点的椭圆x225＋y29＝1上一点，则三角形PF1F2的周长等于()A．16B．18C．20D．不确定解析：选B.由椭圆的定义知2a＝10，2c＝225－9＝8，所以三角形PF1F2的周长等于10＋8＝18.2.已知椭圆的焦点为(－1，0)和(1，0)，点P(2，0)在椭圆上，则椭圆的方程为()A.x24＋y23＝1B.x24＋y2＝1C.y24＋x23＝1D.y24＋x2＝1解析：选A.c＝1，a＝12()（2＋1）2＋0＋（2－1）2＋0＝2，∴b2＝a2－c2＝3.∴椭圆的方程为x24＋y23＝1.3.已知椭圆的焦点是F1(－1，0)，F2(1，0)，P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项，则椭圆的方程为__________．解析：由题设知|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，∴2a＝4，2c＝2，∴b＝3，∴椭圆的方程为x24＋y23＝1.答案：x24＋y23＝14.椭圆x24＋y2m＝1的焦距为2，则m等于__________．解析：∵2c＝2，∴c＝1.当椭圆的焦点在x轴上时，由4－m＝1得m＝3；当椭圆的焦点在y轴上时，由m－4＝1得m＝5.答案：3或5[A级基础达标]1.若椭圆x216＋y2b2＝1过点(－2，3)，则其焦距为()A．25B．23C．45D．43解析：选D.将点(－2，3)代入椭圆方程求得b2＝4，于是焦距2c＝216－4＝43.2.已知a＝13，c＝23，则该椭圆的标准方程为()A.x213＋y212＝1B.x213＋y225＝1或x225＋y213＝1C.x213＋y2＝1D.x213＋y2＝1或x2＋y213＝1解析：选D.由a2＝b2＋c2，∴b2＝13－12＝1.分焦点在x轴和y轴上写标准方程．23.如果方程x2a2＋y2a＋6＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是()A．a3B．a－2C．a3或a－2D．a3或－6a－2解析：选D.由于椭圆焦点在x轴上，∴a2a＋6a＋60⇔（a＋2）（a－3）0a－6⇔a3或－6a－2.故选D.4.椭圆的两焦点为F1(－4，0)、F2(4，0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆方程为__________．解析：S△PF1F2＝12×8b＝12，∴b＝3.又∵c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25.∴椭圆的标准方程为x225＋y29＝1.答案：x225＋y29＝15.(2012·烟台高二检测)已知椭圆的方程是x2a2＋y225＝1(a5)，它的两个焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝8，弦AB过F1，则△ABF2的周长为__________．解析：由已知c＝4，∴a＝b2＋c2＝41.根据椭圆定义可得：△ABF2的周长为4a＝441.答案：4416.求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)椭圆上一点P(3，2)到两焦点的距离之和为8；(2)椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15.解：(1)①若焦点在x轴上，可设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．由题意知2a＝8，∴a＝4，又点P(3，2)在椭圆上，∴916＋4b2＝1，得b2＝647.∴椭圆的标准方程为x216＋y2647＝1.②若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为：y2a2＋x2b2＝1(ab0)，∵2a＝8，∴a＝4.又点P(3，2)在椭圆上，∴416＋9b2＝1，得b2＝12.∴椭圆的标准方程为y216＋x212＝1.由①②知椭圆的标准方程为x216＋y2647＝1或y216＋x212＝1.(2)由题意知，2c＝16，2a＝9＋15＝24，∴a＝12，c＝8，∴b2＝80.又焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，∴所求方程为3x2144＋y280＝1或y2144＋x280＝1.[B级能力提升]7.(2012·宜宾质检)“mn0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.mn0⇒1n1m0⇒方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆；反之，若方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则mn0.8.已知椭圆x23＋y24＝1的两个焦点F1，F2，M是椭圆上一点，且|MF1|－|MF2|＝1，则△MF1F2是()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形解析：选B.由椭圆定义知|MF1|＋|MF2|＝2a＝4，且已知|MF1|－|MF2|＝1，所以|MF1|＝52，|MF2|＝32.又|F1F2|＝2c＝2.所以有|MF1|2＝|MF2|2＋|F1F2|2.因此∠MF2F1＝90°，△MF1F2为直角三角形．9.已知椭圆x249＋y224＝1上一点P与椭圆两焦点F1、F2连线的夹角为直角，则|PF1||PF2|＝__________．解析：两焦点的坐标分别为F1(－5，0)、F2(5，0)，由PF1⊥PF2，得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝100.而|PF1|＋|PF2|＝14，∴(|PF1|＋|PF2|)2＝196，100＋2|PF1|·|PF2|＝196，|PF1||PF2|＝48.答案：4810.已知椭圆8x281＋y236＝1上一点M的纵坐标为2.(1)求M的横坐标；(2)求过M且与x29＋y24＝1共焦点的椭圆的方程．解：(1)把M的纵坐标代入8x281＋y236＝1，得8x281＋436＝1，即x2＝9.∴x＝±3.即M的横坐标为3或－3.(2)对于椭圆x29＋y24＝1，焦点在x轴上且c2＝9－4＝5，故设所求椭圆的方程为x2a2＋y2a2－5＝1(a25)，把M点坐标代入得9a2＋4a2－5＝1，解得a2＝15.故所求椭圆的方程为x215＋y210＝1.11.(创新题)已知椭圆中心在原点，两焦点F1、F2在x轴上，且过点A(－4，3)．若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程．解：设所求椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．设焦点F1(－c，0)，F2(c，0)．∵F1A⊥F2A，∴F1A→·F2A→＝0，而F1A→＝(－4＋c，3)，4F2A→＝(－4－c，3)，∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，∴c2＝25，即c＝5.∴F1(－5，0)，F2(5，0)．∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝（－4＋5）2＋32＋（－4－5）2＋32＝10＋90＝410.∴a＝210，∴b2＝a2－c2＝(210)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为x240＋y215＝1.