第2章222第2课时同步练习高中数学练习试题

1高中数学人教A版选2-1同步练习1.已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆x24＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．相切或相交解析：选C.把x＋y－3＝0代入x24＋y2＝1，得x24＋(3－x)2＝1，即5x2－24x＋32＝0.∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－640，∴直线与椭圆相离．2.直线y＝kx＋1与椭圆x25＋y2m＝1总有公共点，则m的取值范围是()A．m1B．m0C．0m5且m≠1D．m≥1且m≠5解析：选D.∵直线y＝kx＋1恒过(0，1)点，若5m，则m≥1，若5m，则必有公共点，∴m≥1且m≠5.3.已知点A，B是椭圆x2m2＋y2n2＝1(m0，n0且m≠n)上两点，且AO→＝λBO→，则λ＝__________．解析：由AO→＝λBO→知点A，O，B共线，因椭圆关于原点对称，∴λ＝－1.答案：－14.(2012·泰安质检)椭圆x23＋y2＝1被直线x－y＋1＝0所截得的弦长|AB|＝__________．解析：由x－y＋1＝0x23＋y2＝1得交点为(0，1)，－32，－12，则|AB|＝322＋1＋122＝322.答案：322[A级基础达标]1.(2012·青岛调研)点A(a，1)在椭圆x24＋y22＝1的内部，则a的取值范围是()A．－2a2B．a－2或a2C．－2a2D．－1a1解析：选A.由题意知a24＋121，解得－2a2.2.若直线y＝kx＋2与椭圆x23＋y22＝1相切，则斜率k的值是()A.63B．－63C．±63D．±332解析：选C.把y＝kx＋2代入x23＋y22＝1得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，由于Δ＝0，∴k2＝23，∴k＝±63.3.已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若AP→＝2PB→，则椭圆的离心率是()A.32B.22C.13D.12解析：选D.如图，由于BF⊥x轴，故xB＝－c，yB＝b2a.∵AP→＝2PB→，又BF∥OP，∴a＝2c，∴ca＝12.4.直线y＝a与椭圆x23＋y24＝1恒有两个不同的交点，则a的取值范围是__________．解析：由x23＋y24＝1得－2≤y≤2，∴－2a2.答案：(－2，2)5.过椭圆x25＋y24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为__________．解析：将椭圆与直线方程联立：4x2＋5y2－20＝0，y＝2（x－1），解得交点A(0，－2)，B53，43.故S△OAB＝12·OF·|y1－y2|＝12×1×43＋2＝53.答案：536.在平面直角坐标系xOy中，点P到两点(0，3)、(0，－3)的距离之和等于4.设点P的轨迹为C.(1)写出C的方程；(2)设直线y＝kx＋1与C交于A、B两点，k为何值时OA→⊥OB→？此时|AB→|的值是多少？解：(1)设P(x，y)，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，－3)，(0，3)为焦点，长半轴为a＝2的椭圆，它的短半轴b＝22－（3）2＝1，故曲线C的方程为x2＋y24＝1.(2)由x2＋y24＝1，y＝kx＋1，消去y并整理得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，3Δ＝(2k)2－4×(k2＋4)×(－3)＝16(k2＋3)0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－2kk2＋4，x1x2＝－3k2＋4.由OA→⊥OB→，得x1x2＋y1y2＝0.而y1y2＝(kx1＋1)(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1，于是x1x2＋y1y2＝－3k2＋4－3k2k2＋4－2k2k2＋4＋1＝－4k2＋1k2＋4.由－4k2＋1k2＋4＝0，得k＝±12，此时OA→⊥OB→.当k＝±12时，x1＋x2＝∓417，x1x2＝－1217.|AB→|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2＝（1＋k2）（x2－x1）2，而(x2－x1)2＝(x2＋x1)2－4x1x2＝42172＋4×1217＝42×52172，所以|AB→|＝46517.[B级能力提升]7.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足MF1→·MF2→＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()A．(0，1)B.0，12C.0，22D.22，1解析：选C.由题意知，垂足的轨迹为以焦距为直径的圆，则cb⇒c2b2＝a2－c2⇒e212，又e∈(0，1)，所以e∈0，22.8.经过椭圆x22＋y2＝1的右焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A、B两点，O为坐标原点，则OA→·OB→＝()A．－3B．－13C．－13或－3D．±13解析：选B.椭圆右焦点为(1，0)，设l：y＝x－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，把y＝x－1代入x22＋y2＝1，得3x2－4x＝0.∴A(0，－1)，B43，13.∴OA→·OB→＝－13.9.已知以F1(－2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直线x＋3y＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为________．4解析：由题意可设椭圆方程为x2a2＋y2a2－4＝1，联立直线与椭圆方程，由Δ＝0得a＝7.故长轴长为27.答案：2710.直线l：y＝kx＋1与椭圆x22＋y2＝1交于M、N两点，且|MN|＝423.求直线l的方程．解：设直线l与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，由y＝kx＋1，x22＋y2＝1，消去y并化简，得(1＋2k2)x2＋4kx＝0，∴x1＋x2＝－4k1＋2k2，x1x2＝0.由|MN|＝423，得(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝329，∴(1＋k2)(x1－x2)2＝329，∴(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝329，即(1＋k2)－4k1＋2k22＝329，化简得：k4＋k2－2＝0，∴k2＝1，∴k＝±1.∴所求直线l的方程是y＝x＋1或y＝－x＋1.11.(创新题)设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点为F，过F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，AF→＝2FB→.(1)求椭圆C的离心率；(2)如果|AB|＝154，求椭圆C的方程．解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知y10，y20.(1)直线l的方程为y＝3(x－c)，其中c＝a2－b2.联立y＝3（x－c），x2a2＋y2b2＝1，得(3a2＋b2)y2＋23b2cy－3b4＝0.解得y1＝－3b2（c＋2a）3a2＋b2，y2＝－3b2（c－2a）3a2＋b2.因为AF→＝2FB→，所以－y1＝2y2.即3b2（c＋2a）3a2＋b2＝2·－3b2（c－2a）3a2＋b2.得离心率e＝ca＝23.(2)因为|AB|＝1＋13|y2－y1|，所以23·43ab23a2＋b2＝154.5由ca＝23得b＝53a，所以54a＝154，得a＝3，b＝5.故所求椭圆C的方程为x29＋y25＝1.