第2章231同步练习高中数学练习试题

1高中数学人教A版选2-1同步练习1.双曲线的两焦点坐标是F1(3，0)，F2(－3，0)，2b＝4，则双曲线的标准方程是()A.x25－y24＝1B.y25－x24＝1C.x23－y22＝1D.x29－y216＝1答案：A2.已知A(0，－4)，B(0，4)，|PA|－|PB|＝2a，则当a＝3和4时，点P的轨迹分别为()A．双曲线和一条直线B．双曲线和两条射线C．双曲线一支和一条直线D．双曲线一支和一条射线解析：选D.当a＝3时，2a＝6|AB|＝8，轨迹为双曲线上支；当a＝4时，2a＝8＝|AB|，轨迹为以B为端点，向上的一条射线．3.(2011·高考上海卷)设m是常数，若点F(0，5)是双曲线y2m－x29＝1的一个焦点，则m＝__________．解析：由已知条件知m＋9＝52，所以m＝16.答案：164.已知双曲线x29－y216＝1上一点M的横坐标为5，则点M到左焦点的距离是__________．解析：由于双曲线x29－y216＝1的右焦点为F(5，0)，将xM＝5，代入双曲线方程可得|yM|＝163，即为点M到右焦点的距离，由双曲线的定义知M到左焦点的距离为163＋2×3＝343.答案：343[A级基础达标]1.方程x＝3y2－1所表示的曲线是()A．双曲线B．椭圆C．双曲线的一部分D．椭圆的一部分解析：选C.依题意：x≥0，方程可化为：3y2－x2＝1，所以方程表示双曲线的一部分．故选C.2.椭圆x24＋y2a2＝1与双曲线x2a－y22＝1有相同的焦点，则a的值是()A.12B．1或－2C．1或12D．1解析：选D.依题意：a0，0a24，4－a2＝a＋2.解得a＝1.故选D.3.若方程x210－k＋y25－k＝1表示双曲线，则k的取值范围是()2A．(5，10)B．(－∞，5)C．(10，＋∞)D．(－∞，5)∪(10，＋∞)解析：选A.由题意得(10－k)(5－k)0，解得5k10.4.已知双曲线方程为x220－y25＝1，那么它的焦距为__________．解析：∵a2＝20，b2＝5，∴c2＝a2＋b2＝25.∴c＝5.故焦距为2c＝10.答案：105.已知双曲线的两个焦点分别为F1(－3，0)和F2(3，0)，且P52，1在双曲线右支上，则该双曲线的方程是__________．解析：法一：利用双曲线定义．2a＝|PF1|－|PF2|＝1214＋1－14＋1＝552－52＝25，∴a＝5，b2＝c2－a2＝4.故所求方程为x25－y24＝1.法二：待定系数法．设双曲线方程为x2a2－y29－a2＝1(0a29)，则有254a2－19－a2＝1，∴4a4－65a2＋225＝0.∴a2＝5或a2＝4549(舍去)．∴双曲线方程为x25－y24＝1.答案：x25－y24＝16.根据下列条件，求双曲线的方程：(1)以椭圆x216＋y29＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，－5)；(2)以椭圆x216＋y29＝1长轴的两个顶点为焦点，焦点为顶点．解：(1)双曲线中c＝3，且焦点在y轴上，设方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，将A(4，－5)代入，得25b2－16a2＝a2b2.又∵b2＝c2－a2，即b2＝9－a2，∴25(9－a2)－16a2＝a2(9－a2)．解得a2＝5或a2＝45(舍)，b2＝9－a2＝4.∴所求的双曲线方程为y25－x24＝1.(2)椭圆的焦点为(±7，0)，相应的两个顶点为(±4，0)，∴双曲线中，c＝4，a＝7.∴b2＝9，且双曲线的焦点在x轴上．∴所求的双曲线方程为x27－y29＝1.[B级能力提升]7.(2012·聊城质检)已知点F1(－2，0)、F2(2，0)，动点P满足|PF2|－|PF1|＝2.当点P的纵3坐标是12时，点P到坐标原点的距离是()A.62B.32C.3D．2解析：选A.因为动点P满足|PF2|－|PF1|＝2为定值，又222，所以P点的轨迹为双曲线的一支．因为2a＝2，所以a＝1.又因为c＝2，所以b2＝c2－a2＝1.所以P点轨迹为x2－y2＝1的一支．当y＝12时，x2＝1＋y2＝54，则P点到原点的距离为|PO|＝x2＋y2＝54＋14＝62.8.已知双曲线的两个焦点为F1(－10，0)、F2(10，0)，M是此双曲线上的一点，且满足MF1→·MF2→＝0，|MF1→|·|MF2→|＝2，则该双曲线的方程是()A.x29－y2＝1B．x2－y29＝1C.x23－y27＝1D.x27－y23＝1解析：选A.∵MF1→·MF2→＝0，∴MF1→⊥MF2→，∴MF1⊥MF2，∴|MF1|2＋|MF2|2＝40，∴(|MF1|－|MF2|)2＝|MF1|2－2|MF1|·|MF2|＋|MF2|2＝40－2×2＝36，∴||MF1|－|MF2||＝6＝2a，a＝3，又c＝10，∴b2＝c2－a2＝1，∴双曲线方程为x29－y2＝1.9.已知双曲线C：x29－y216＝1的左、右焦点分别为F1、F2，P为C右支上的一点，且|PF2|＝|F1F2|，则△PF1F2的面积等于__________．解析：依题意得|PF2|＝|F1F2|＝10，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝6，|PF1|＝16，因此△PF1F2的面积等于12×16×102－1622＝48.答案：4810.已知圆C方程为(x－3)2＋y2＝4，定点A(－3，0)，求过定点A且和圆C外切的动圆圆心P的轨迹方程．解：∵圆P与圆C外切，∴|PC|＝|PA|＋2，即|PC|－|PA|＝2，∵0|PC|－|PA||AC|＝6，∴由双曲线定义，点P的轨迹是以A，C为焦点的双曲线的左支，其中a＝1，c＝3，∴b2＝c2－a2＝9－1＝8，故所求轨迹方程为x2－y28＝1(x0)．11.(创新题)方程x2sinα＋y2cosα＝1表示焦点在y轴上的双曲线，求角α所在的象限．解：将方程化为y21cosα－x21－sinα＝1.∵方程表示焦点在y轴上的双曲线，∴cosα0－sinα0，即cosα0sinα0.∴α在第四象限．