第3章313同步练习高中数学练习试题

1高中数学人教A版选2-1同步练习1.设a、b、c是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：①(a·b)c－(c·a)b＝0；②|a|－|b||a－b|；③(b·a)c－(c·a)b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正确的有()A．①②B．②③C．③④D．②④解析：选D.根据数量积的定义及性质可知：①③错误，②④正确．故选D.2.在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为135°的是()A.AB→与A′C′→B.AB→与C′A′→C.AB→与A′D′→D.AB→与B′A′→解析：选B.〈AB→，A′C′→〉＝〈AB→，AC→〉＝45°；〈AB→，C′A′→〉＝180°－〈AB→，AC→〉＝135°；〈AB→，A′D′→〉＝〈AB→，AD→〉＝90°；〈AB→，B′A′→〉＝180°.3.已知i、j、k是两两垂直的单位向量，a＝2i－j＋k，b＝i＋j－3k，则a·b等于________．解析：a·b＝(2i－j＋k)·(i＋j－3k)＝2i2－j2－3k2＝－2.答案：－24.在棱长为1的正方体ABCD－A′B′C′D′中，AD′→·BC′→＝__________．解析：由正方体知BC′∥AD′，∴〈AD′→，BC′→〉＝0，又|AD′→|＝|BC′→|＝2，所以AD′→·BC′→＝2·2·1＝2.答案：2[A级基础达标]21.若向量m垂直于向量a和b，向量n＝λa＋μb(λ，μ∈R，且λμ≠0)，则()A．m∥nB．m⊥nC．m，n既不平行也不垂直D．以上三种情况都可能解析：选B.因为m·n＝m·(λa＋μb)＝λm·a＋μm·b＝0，所以m⊥n.2.已知向量a、b是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c是直线l的一个方向向量，则c·a＝0且c·b＝0是l⊥α的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.当a与b不共线时，由c·a＝0，c·b＝0，可推出l⊥α；当a与b为共线向量时，由c·a＝0，c·b＝0，不能够推出l⊥α；l⊥α一定有c·a＝0且c·b＝0，故选B.3.已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于()A．62B．6C．12D．144解析：选C.∵PC→＝PA→＋AB→＋BC→，∴PC→2＝PA→2＋AB→2＋BC→2＋2AB→·BC→＝36＋36＋36＋2×36cos60°＝144.∴PC＝12.4.已知|a|＝32，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，且m⊥n，则实数λ等于__________．解析：∵m·n＝(a＋b)·(a＋λb)＝|a|2＋λa·b＋a·b＋λ|b|2＝18＋λ×32×4×cos135°＋32×4×cos135°＋λ×16＝6－12λ＋16λ＝6＋4λ，∴m·n＝0＝6＋4λ，∴λ＝－32.答案：－325.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则A1B→·B1C→＝__________．解析：连接向量A1D→.A1B→·B1C→＝A1B→·A1D→＝|A1B→|·|A1D→|·cos〈A1B→，A1D→〉＝2a×2a×cos60°＝a2.答案：a26.如图所示，已知四面体ABCD的每条棱的长都等于1，点E，F分别是棱3AB，AD的中点，计算：(1)EF→·BA→；(2)EF→·BD→；(3)EF→·DC→.解：(1)EF→·BA→＝12|BD→||BA→|·cos〈BD→，BA→〉＝12cosπ3＝14.(2)EF→·BD→＝12BD→·BD→＝12.(3)EF→·DC→＝12BD→·DC→＝12|BD→||DC→|·cos〈BD→，DC→〉＝12cos2π3＝－14.[B级能力提升]7.已知a、b是异面直线，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选C.AB→＝AC→＋CD→＋DB→，∴AB→·CD→＝(AC→＋CD→＋DB→)·CD→＝AC→·CD→＋CD→2＋DB→·CD→＝0＋12＋0＝1，又|AB→|＝2，|CD→|＝1.∴cos〈AB→，CD→〉＝AB→·CD→|AB→||CD→|＝12×1＝12.∴a与b所成的角是60°.8.设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足AB→·AC→＝0，AC→·AD→＝0，AB→·AD→＝0，则△BCD是()A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不确定解析：选B.BD→＝AD→－AB→，BC→＝AC→－AB→，BD→·BC→＝(AD→－AB→)·(AC→－AB→)＝AD→·AC→－AD→·AB→－AB→·AC→＋|AB→|2＝|AB→|20，∴cos∠CBD＝cos〈BC→，BD→〉＝BC→·BD→|BC→|·|BD→|0.∴∠CBD为锐角，同理，∠BCD与∠BDC均为锐角，∴△BCD为锐角三角形．49.空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝π3，则cos〈OA→，BC→〉的值为__________．解析：cos〈OA→，BC→〉＝OA→·BC→|OA→||BC→|＝OA→·（OC→－OB→）|OA→||BC→|＝|OA→||OC→|cosπ3－|OA→||OB→|cosπ3|OA→||BC→|＝0.答案：010.直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D、E分别为AB、BB′的中点．(1)求证：CE⊥A′D；(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．解：(1)证明：设CA→＝a，CB→＝b，CC′→＝c，根据题意，|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0，∴CE→＝b＋12c，A′D→＝－c＋12b－12a.∴CE→·A′D→＝－12c2＋12b2＝0.∴CE→⊥A′D→，即CE⊥A′D.(2)AC′→＝－a＋c，∴|AC′→|＝2|a|，又|CE→|＝52|a|，AC′→·CE→＝(－a＋c)·b＋12c＝12c2＝12|a|2，∴cos〈AC′→，CE→〉＝12|a|22·52|a|2＝1010.即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为1010.11.(创新题)如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点．(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求MN的长．解：(1)证明：连接AN(图略)．设AB→＝p，AC→＝q，AD→＝r.5由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p、q、r三向量两两夹角均为60°.MN→＝AN→－AM→＝12(AC→＋AD→)－12AB→＝12(q＋r－p)，∴MN→·AB→＝12(q＋r－p)·p＝12(q·p＋r·p－p2)＝12(a2cos60°＋a2cos60°－a2)＝0.∴MN⊥AB，同理可证MN⊥CD.(2)由(1)可知MN→＝12(q＋r－p)．∴|MN→|2＝14(q＋r－p)2＝14[q2＋r2＋p2＋2(q·r－p·q－r·p)]＝14a2＋a2＋a2＋2a22－a22－a22＝14×2a2＝a22.∴|MN→|＝22a，∴MN的长为22a.