第3章314同步练习高中数学练习试题

1高中数学人教A版选2-1同步练习1.已知{a，b，c}是空间向量的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是()A．aB．bC．a＋2bD．a＋2c解析：选D.∵a＋2c，a＋b，a－b为不共面向量，∴a＋2c与p、q能构成一个基底．2.空间四边形OABC中，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则MN→为()A.12a－23b＋12cB．－23a＋12b＋12cC.12a＋12b－23cD.23a＋23b－12c解析：选B.MN→＝MA→＋AB→＋BN→＝13OA→＋OB→－OA→＋12(OC→－OB→)＝－23OA→＋12OB→＋12OC→＝－23a＋12b＋12c.3.在如图所示的正方体中，各棱长为1，写出下列各向量的坐标：(1)OB→＝_______________________________________________________，OB′→＝________________________________________________________；(2)OA′→＝_________________________________________________，OC′→＝_________________________________________________________.答案：(1)(1，1，0)(1，1，1)(2)(1，0，1)(0，1，1)24.已知a＝e1＋e2，b＝e2＋e3，c＝e1＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，若e1，e2，e3不共面，且d＝αa＋βb＋γc，则α＋β＋γ＝__________．解析：由已知d＝(α＋γ)e1＋(α＋β)e2＋(γ＋β)e3.所以α＋γ＝1，α＋β＝2，γ＋β＝3，故有α＋β＋γ＝3.答案：3[A级基础达标]1.下列说法中正确的是()A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B．空间的基底有且仅有一个C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D．基底{a，b，c}中基向量与基底{e，f，g}中基向量对应相等解析：选C.A项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底；B项中，空间基底有无数个；D项中因为基底不惟一，所以D错．故选C.2.O、A、B、C为空间四点，且向量OA→，OB→、OC→不能构成空间的一个基底，则()A.OA→、OB→、OC→共线B.OA→、OB→共线C.OB→、OC→共线D．O、A、B、C四点共面解析：选D.由OA→、OB→、OC→不能构成基底知OA→、OB→、OC→三向量共面，所以O、A、B、C四点共面．3.如图所示，已知A，B，C三点不共线，P为一定点，O为平面ABC外任一点，则下列能表示向量OP→的为()A.OA→＋2AB→＋2AC→B.OA→－3AB→－2AC→C.OA→＋3AB→－5AC→D.OA→＋2AB→－3AC→解析：选C.连接AP(图略)．根据A、B、C、P四点共面的条件即可求得：AP→＝xAB→＋yAC→.即OP→＝OA→＋xAB→＋yAC→，由图知x＝3，y＝－5.34.设a、b、c是三个不共面向量，现从①a＋b，②a－b，③a＋c，④b＋c，⑤a＋b－c中选出一个使其与a、b构成空间向量的一个基底，则可以选择的向量为__________．(填写代号)解析：根据基底的定义，∵a，b，c不共面，∴a＋c，b＋c，a＋b－c都能与a，b构成基底．答案：③④⑤5.如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，D，E分别为AA1，B1C的中点，若记AB→＝a，AC→＝b，AA1→＝c，则DE→＝__________(用a，b，c表示)．解析：连接A1E、A1C(图略)．DE→＝DA1→＋A1E→＝12AA1→＋12(A1B1→＋A1C→)＝12AA1→＋12(AB→＋AC→－AA1→)＝12c＋12(a＋b－c)＝12a＋12b.答案：12a＋12b6.已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为2的正方体，E，F分别为BB1和DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出DB1→，DE→，DF→的坐标．解：设x、y、z轴的单位向量分别为e1、e2、e3，其方向与各轴上的正方向相同，则DB1→＝DA→＋AB→＋BB1→＝2e1＋2e2＋2e3，∴DB1→＝(2，2，2)．∵DE→＝DA→＋AB→＋BE→＝2e1＋2e2＋e3，∴DE→＝(2，2，1)．∵DF→＝e2，∴DF→＝(0，1，0)．[B级能力提升]7.设命题p：a、b、c是三个非零向量；命题q：{a，b，c}为空间的一个基底，则命题p是命题q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，则a、b、c不共面，所以a、b、c必须4均为非零向量，即q⇒p，但三个非零向量未必可以构成基底．8.若向量MA→，MB→，MC→的起点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，则能使向量MA→、MB→、MC→成为空间一组基底的关系是()A.OM→＝13OA→＋13OB→＋13OC→B.MA→＝MB→＋MC→C.OM→＝OA→＋OB→＋OC→D.MA→＝2MB→－MC→解析：选C.对于选项A，由结论OM→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(x＋y＋z＝1)⇔M，A，B，C四点共面知，MA→，MB→，MC→共面；对于B，D选项，易知MA→、MB→、MC→共面，故只有选项C中MA→、MB→、MC→不共面．9.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，用AC→，AB1→，AD1→作为基向量，则AC1→＝________．解析：AC1→＝AA1→＋A1B1→＋B1C1→＝AA1→＋AB→＋AD→＝12[(AA1→＋AB→)＋(AA1→＋AD→)＋(AB→＋AD→)]＝12(AB1→＋AD1→＋AC→)＝12AC→＋12AB1→＋12AD1→.答案：12AC→＋12AB1→＋12AD1→10.如图，正方体ABCD－A′B′C′D′中，点E是上底面A′B′C′D′的中心，求下列各式中的x、y、z的值：(1)BD′→＝xAD→＋yAB→＋zAA′→；(2)AE→＝xAD→＋yAB→＋zAA′→.解：(1)∵BD′→＝BD→＋DD′→＝BA→＋AD→＋DD′→＝－AB→＋AD→＋AA′→，5又BD′→＝xAD→＋yAB→＋zAA′→，∴x＝1，y＝－1，z＝1.(2)∵AE→＝AA′→＋A′E→＝AA′→＋12A′C′→＝AA′→＋12()A′B′→＋A′D′→＝12AD→＋12AB→＋AA′→，又AE→＝xAD→＋yAB→＋zAA′→.∴x＝12，y＝12，z＝1.11.(创新题)已知{a，b，c}是空间的一个基底，{a＋b，a－b，c}为空间的另一个基底，若向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(1，2，3)，试求向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标．解：设向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc.又∵p在基底{a，b，c}下的坐标为(1，2，3)，即p＝a＋2b＋3c，∴(x＋y)a＋(x－y)b＋zc＝a＋2b＋3c，∴x＋y＝1，x－y＝2，z＝3，解得x＝32，y＝－12.z＝3.∴p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标是32，－12，3.