第3章32第1课时同步练习高中数学练习试题

1高中数学人教A版选2-1同步练习1.直线l的方向向量，平面α的法向量分别是a＝(3，2，1)，u＝(－1，2，－1)，则l与α的位置关系是()A．l⊥αB．l∥αC．l与α相交但不垂直D．l∥α或l⊂α解析：选D.∵a·u＝－3＋4－1＝0，∴a⊥u，∴l∥α或l⊂α.2.若平面α，β的法向量分别为u＝(2，－3，5)，v＝(－3，1，－4)，则()A．α∥βB．α⊥βC．α，β相交但不垂直D．以上均不正确解析：选C.∵2－3≠－31≠5－4，∴α与β不平行．又∵u·v＝2×(－3)＋(－3)×1＋5×(－4)＝－29≠0.∴α，β相交但不垂直．3.平面α，β的法向量分别为m＝(1，2，－2)，n＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k等于________．解析：由α⊥β知，m·n＝0.∴－2－8－2k＝0，解得k＝－5.答案：－54.已知A(1，0，1)，B(0，1，1)，C(1，1，0)，则平面ABC的一个法向量为__________．解析：设平面ABC的一个法向量n＝(x，y，z)，由题意可得：AB→＝(－1，1，0)，BC→＝(1，0，－1)．由n·AB→＝0，n·BC→＝0，得－x＋y＝0，x－z＝0.令x＝1，得y＝z＝1.∴n＝(1，1，1)．答案：(1，1，1)(答案不惟一)[A级基础达标]1.设平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝()A．2B．－4C．4D．－2解析：选C.∵α∥β，∴(1，2，－2)＝λ(－2，－4，k)，∴k＝4.22.已知平面α内有一个点A(2，－1，2)，它的一个法向量为n＝(3，1，2)，则下列点P中，在平面α内的是()A．(1，－1，1)B.1，3，32C.1，－3，32D.－1，3，－32解析：选B.要判断点P是否在平面内，只需判断向量PA→与平面的法向量n是否垂直，即PA→·n是否为0即可，因此，要对各个选项进行逐个检验．对于选项A，PA→＝(1，0，1)，则PA→·n＝(1，0，1)·(3，1，2)＝5≠0，故排除A；对于选项B，PA→＝1，－4，12，则PA→·n＝1，－4，12·(3，1，2)＝0.故选B.3.已知平面α内的三点A(0，0，1)、B(0，1，0)、C(1，0，0)，平面β的一个法向量为n＝(－1，－1，－1)，且β与α不重合，则()A．α∥βB．α⊥βC．α与β相交但不垂直D．以上都不对解析：选A.AB→＝(0，1，－1)，AC→＝(1，0，－1)，n·AB→＝(－1，－1，－1)·(0，1，－1)＝－1×0＋(－1)×1＋(－1)×(－1)＝0，n·AC→＝(－1，－1，－1)·(1，0，－1)＝－1×1＋0＋(－1)×(－1)＝0，∴n⊥AB→，n⊥AC→.∴n也为α的一个法向量．又α与β不重合，∴α∥β.4.已知AB→＝(2，2，1)，AC→＝(4，5，3)，则平面ABC的单位法向量的坐标为__________．解析：设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则n·AB→＝0，n·AC→＝0.即2x＋2y＋z＝0，4x＋5y＋3z＝0.令z＝1，得x＝12，y＝－1.∴平面ABC的一个法向量n＝12，－1，1，则平面ABC的单位法向量为±n|n|＝±13，－23，23.3答案：13，－23，23或－13，23，－235.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果AB→＝(2，－1，－4)，AD→＝(4，2，0)，AP→＝(－1，2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③AP→是平面ABCD的法向量；④AP→∥BD→.其中正确的是__________．解析：AB→·AP→＝－2－2＋4＝0，∴AP⊥AB，①正确；AP→·AD→＝－4＋4＝0，∴AP⊥AD，②正确；AP→是平面ABCD的法向量，∴③正确；④错误．答案：①②③6.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求面ABCD的一个法向量；(2)求面A1BC1的一个法向量；(3)若M为CD的中点，求面AMD1的一个法向量．解：以A为坐标原点，分别以AB→，AD→，AA1→所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为a.(1)∵面ABCD即为坐标平面xOy，∴n1＝(0，0，1)为其一个法向量．(2)连接B1D，∵B1D⊥面A1BC1，又∵B1D→＝(0，a，0)－(a，0，a)＝(－a，a，－a)，∴n2＝1aB1D→＝(－1，1，－1)为面A1BC1的一个法向量．(3)设n3＝(x0，y0，z0)为面AMD1的一个法向量，∵AM→＝a2，a，0，AD1→＝(0，a，a)，∴n3·AM→＝（x0，y0，z0）·a2，a，0＝a2x0＋ay0＝0n3·AD1→＝（x0，y0，z0）·（0，a，a）＝ay0＋az0＝0.令x0＝2，则y0＝－1，z0＝1，∴n3＝(2，－1，1)为面AMD1的一个法向量．[B级能力提升]7.已知直线l1的方向向量a＝(2，4，x)，直线l2的方向向量b＝(2，y，2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值是()A．－3或1B．3或－1C．－3D．14解析：选A.|a|＝22＋42＋x2＝6，∴x＝±4，又∵a⊥b，∴a·b＝2×2＋4y＋2x＝0，∴y＝－1－12x，∴当x＝4时，y＝－3，当x＝－4时，y＝1，∴x＋y＝1或－3.8.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于()A．ACB．BDC．A1DD．A1A解析：选B.建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1.则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，E12，12，1，∴CE→＝12，－12，1，AC→＝(－1，1，0)，BD→＝(－1，－1，0)，A1D→＝(－1，0，－1)，A1A→＝(0，0，－1)．∵CE→·BD→＝0，∴CE⊥BD.9.已知AB→＝(1，5，－2)，BC→＝(3，1，z)，若AB→⊥BC→，BP→＝(x－1，y，－3)，且BP→⊥平面ABC，则BP→＝__________．解析：∵AB→·BC→＝0，∴3＋5－2z＝0，即z＝4.∵BP→＝(x－1，y，－3)，BP→⊥平面ABC，∴BP→·AB→＝0，BP→·BC→＝0，即x－1＋5y＋6＝0，3x－3＋y－12＝0，解之得x＝407，y＝－157，即BP→＝337，－157，－3.答案：337，－157，－310.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O1为B1D1的中点，求证：BO1∥平面ACD1.5证明：法一：以D为原点，DA→，DC→，DD1→分别为x，y，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，D1(0，0，2)，C(0，2，0)，B(2，2，0)，O1(1，1，2)，∴AD1→＝(－2，0，2)，CD1→＝(0，－2，2)，BO1→＝(－1，－1，2)，∴BO1→＝12AD1→＋12CD1→，∴BO1→与AD1→，CD1→共面，又BO1⊄平面ACD1，∴BO1∥平面ACD1.法二：在证法一建立的空间直角坐标系下，取AC的中点O，连接D1O，则O(1，1，0)，∴D1O→＝(1，1，－2)．又BO1→＝(－1，－1，2)，∴D1O→＝－BO1→，∴D1O→∥BO1→.又∵D1O与BO1不共线，∴D1O∥BO1.又BO1⊄平面ACD1，∴BO1∥平面ACD1.11.(创新题)如图，在四棱锥P­ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、F分别是AB、PB的中点．(1)求证：EF⊥CD；(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论．解：以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)，设AD＝a，则D(0，0，0)、A(a，0，0)、B(a，a，0)、C(0，a，0)、Ea，a2，0、P(0，0，a)、Fa2，a2，a2.(1)证明：EF→·DC→＝－a2，0，a2·(0，a，0)＝0，∴EF⊥DC.6(2)∵G∈平面PAD，设G(x，0，z)，∴FG→＝x－a2，－a2，z－a2，由题意要使GF⊥平面PCB，只需FG→·CB→＝x－a2，－a2，z－a2·(a，0，0)＝ax－a2＝0，∴x＝a2.FG→·CP→＝x－a2，－a2，z－a2·(0，－a，a)＝a22＋az－a2＝0，∴z＝0.∴点G的坐标为a2，0，0，即点G为AD的中点．