第一章集合与简单逻辑提高测试题二

海量资源尽在星星文库：(三)C组1．若x2-2x-30则（）(A)X-1(B)X3(C)X0(D)XB略解：x2-2x-30=-1x3=x3所以选（D）点评：本题寻求的是x2-2x-30的必要条件而不是充要条件。2．已知X∈R，Y∈R集合A=1,,12XXXX，集合B=1,2,YYY，若A=B，则22yx的值是（）(A)5(B)4(C)25(D)10略解：易知-x-1-x≤12XX∵Y∈R，∴-y12yy∵A=B∴11212YXXYXYX=21YX经检验x=1,y=2满足集合元素的互异性,所以x2+y2=5点评:将两个集合中的元素分别按大小关系排序后寻找对应关系是解本题的关键.3.I为全集,集合A,B满足A∪B=I,那么(1)A∩B=,(2)A∩B=B(3)A∪B=A(4)BA四个关系中正确的个数是(A)1(B)2(C)3(D)4略解：1)A∩B=A∩B=I=(2)A∪B=I=A=B=A∩B=B(3)A∪B=I=B=A=A∪B=A(4)A∪B=I=B=A=BA所以(1),(2),(3),(4)都正确顾选D点评:本题主要考察集合间的交并补运算,本题若从维恩图入手更为简捷.海量资源尽在星星文库：=nmnmxx,,53|∈z.N=nmnMXX,,42|∈z那末M与N的关系是()(A)M=N(B)MN(C)MN(D)M∩N=略解1：集合M中同时含有奇数、偶数；集合N中仅含偶数，所以（A）（B）一定是错误的，又因8∈M，8∈N∵M∩N=∴(D)错误由排除法得答案为C略解2对任意的X0∈N，则必存在着m0n0∈z若X0=2m0+4n0=3(-m0-2n0)+5(m0+2n0)∵-m0-2n0∈z,m0+2n0∈z∴X0∈M∴NM又∵3∈M，3N∴NM故选C点评：解法I比较了集合M，N中等部分元素运用排除法得到了答案；解法2从一般性出发对MN进了行论证。注证MN需证：1、M2、存在一个元素a,a∈m,aN.5.关于X的二次方程2X+（a2-1）x+a-2=0的一个根比1大，另一个根比1小的充要条件是（）（A）-1a1(b)a-1或a1（C）-2a1(d)a-2或a1略解（一）设函数y=f(x)=2X+(a2-1)x+(a-2)由函数图象易知：方程2X+(a2-1)x+a-2=0的一个根比1大，一个根比1小f(1)01+(a2-1)+a-20-2a1故选（C）略解（二）设方程式的两个根为X1，X2X11X2则△0△0△0X11(X1-1)0-2a1X21(x2-1)0(x1-1)(x2–1)0海量资源尽在星星文库：在坐标平面内，纵横坐标都是整数的点，叫做整点，我们用I表示所有直线的集合，M表示恰好通过一个整点的直线的集合，N表示不通过任何整点的直线的集合，p表示通过无穷整点的直线的集合，那么表达式正确的有几个（）（1）M∪N∪P=I（2）N≠（3）M≠（4）P≠(A)1(B)2(C)3(D)4答案：（D）点评:本题易构造出y=2x,y=2,32XY,Y=X来说明（2）、（3）、（4）均是正确的，所以本题的难点在于证明过两个整点的直线一定过无数个整点：设直线ax+by=G过整点（Xo，yo），（xo，yo）易证直线必过整点（（n+1）xo—xo，（n+1yo—yo）所以直线ay+by=必过无数个整点。7、已知I=R，集合A、B都是实数集I的子集。A∩B{x|x2＜4＝，A∩B={x1}（x—4）（8—x）≥0，A∩B={x|x2-6X-160}求则A∩B=略解:A∩B=22|4|2xxxxA∩B=|x(x-4)(8-x)≥0=x|4≤x≤8A∩B=0168|2xxx=28|xxx或由维思图易知A∩B=(A∩B)∪(A∩B)∪(A∩B)将A∩B，A∩B，A∩B分别画在同一条轴上，易知：（A∩B）∪（A∩B）∪（A∩B）=≥xx|≥4或x≤2∴A∩B=42|xx点评：本题涉及的各集合的关系较多，采用维思图和数轴表会使基间的各种关系较为直观。其中A∩B=A∩B）∪（A∩B）∪（A∩B这一关系式可由集合的基本运算推出。8、集合M=nknxxkn.,22|且nk则集合p=1901|x≤x≤2000且xn则集合M∩P中所整元素的和为。略解:∵X≥1901∴2n1901∴n≥11当n=12时,2n-2k的最小值为212-211=20482000海量资源尽在星星文库：∴n=11进一步推理易知k=7或6,∴M∩P={211-27,211-26}={1920,1984}∴M∩P=中各元素的和为1920,1984=3904点评：运用不等式控制的方法求出N的值是解题关键。9、设集合m={1，2，3……1000}，对M的任一空子集X，令ax表示出中最大数与最小数之和，那么所有这样的ax的算术平均值是。略解：若A={a1a2…an}M则B={1001-a1,1001-a2….1001-am}M∴aA=a1+am,aB=(1001-a1)+(1001-am)∴aA+aB=2002若A=B，则aA=aB=1001∴所有这样ax的算术平均值为1001。点评：构造A、B这两种对应集合是解题关键。10、已知集合M={X|x=12m+8n+4l,m,n,2z}与N={X|=209+169+12r,p,q,rz}求证：M=N解：（1）证MN对任意的x0M,则必存在m0,n0,l0z,有x0=12m0+8no+4L0=20n0+16l0+12(m0－n0－L0)∵n0，L0，m0－n0－L0z∴x0℃N∴MN（2）证NM对任意的XN，则必存在P0，q0，XZ有x0=20P0+16q0+12r0=12r0+（2q0+4（5q0）综上所得：M=N点评：将系数为12，8，4的代数式与系数为20，16，12的代数式互相转化是解题的难点也是关键点；为解决这个难点可采用待定系数法，如设12mo+8no+4l0=20（q1m0+b，no+cl0）+16（q2m0+b2n0+c2l0）+12（a3mo+b3mo+c3lo）所以得到12=20a1+16a1+12a38=20b1+16d2+12b34=20q1+16c2+12c3只要求出每个方程的一组整数解即可！11、设M={1，2，3，……，1995}，A是M的子集，且满足条件：当XA时，求A中元素的个数是多少？解：用N（A）表示集合A中所合元素的个数。由题意，K与15k（k=9，10，……，133）这两个数中至少有一个不属于A，所以至少有133—9+1=125个数不属于A。所以，N（A）≤1995—125=1870另一方面，可取A={1，2，……}U{134，135，……1995}，A满是题意，且此时n（A）=1870∴N（A）的最大值为1870点评：由题意构造出数组（9，9×15）；（10，10×15），……（133，195）是解决问题的关键。海量资源尽在星星文库：、设A={xy|22)1(yx≤1|}Bm={xy}1y=－（x—m）2+2m}B=uBm，求A∩B的面积。解：集合A看作是以（0，1）为圆心的1为半径的圆及圆内所有点的集合；因为对任意的MR，均有－（X－M）2+2M≤2X+1，所以B=Ubm={x，y}|y≤2x+1}如图∵直线Y=2X+1过（0，1）点，∴A∩B即为半圆。∴A∩B的面积为2a。点评：本题中集合B可看作是抛物线y=－2x），沿着直线y=－2x方向平移所扫过的点的集合（因为y=－（X—M）2+2M的所有顶点组成直线y=x2），所以我们努力寻找抛物线在移动过程中所扫过点的集合。设直线y=2x+b当y=x2有且仅有一个交点，即可求出b=1，所以抛物线y=－x2在平移过程中不会扫过y=2x+1上面的点，得B={Xy}|y≤2X+1}。